214 Ueber die Gleichung: A« -(- №u — 0. 
bestimmt ist, sobald längs eines noch so kleinen Curven- 
bezw. Flächenstückes die Werthe von u und gegeben 
sind. Dasselbe gilt offenbar, wenn die Function u selbst, im 
Falle der Ebene für ein beliebig kleines Flächenstück, im 
Falle des Raumes für ein beliebig kleines räumliches Gebiet, 
gegeben ist. — Diese Eigenschaft bildet einen wesentlichen 
Unterschied zwischen den Lösungen der Differentialgleichungen 
vom elliptischen Typus überhaupt (vergl. I, B, § 4) und denen 
der Differentialgleichungen vom hyperbolischen Typus, z. B. 
•5r-?r—b h 2 u = 0: denn für die letzteren können die Werthe 
von u und längs einer das ganze Gebiet durchziehenden 
Curve, sofern dieselbe nicht gerade eine Charakteristik ist, 
beliebig vorgeschrieben werden*). Der tiefere Grund dieses 
Unterschiedes liegt darin, dass stetige Lösungen einer ellipti 
schen Differentialgleichung auch analytisch sind, stetige Lö 
sungen einer hyperbolischen oder parabolischen Differentialglei 
chung dagegen keineswegs nothwendigerweise. —- 
Aus dem vorstehenden Satze ergiebt sich auch, dass zwei 
stetige Functionen, die in zwei in einer Fläche aneinander 
grenzenden Räumen der Differentialgleichung Au -{- 7c 2 u = 0 
genügen und an jener Fläche nebst ihren Differentialquo 
tienten nach deren Normale übereinstimmen, analytische 
Fortsetzungen von einander sind, was v. Helmholtz 1. c. auf 
etwas andere Weise, nämlich mit Hülfe der Formel (61), 
bewiesen hat. Ferner folgt aus dem oben bewiesenen Satze 
unmittelbar, dass eine Lösung in der Ebene, die längs einer 
Linie, oder eine Lösung u im Raume, die auf einer Fläche 
verschwindet, beim Uebersehreiten dieser Linie bezw. Fläche 
das Vorzeichen wechselt. 
Eine letzte, aus dem Green’schen Satze ableitbare Eigen 
schaft der Functionen u wird wegen ihrer besonderen 
*) Vergl. Du Bois-Reymond, Crelie’s Journal 104, 1889 und Picard, 
Mémoire sur la théorie des équations aux dérivées partielles etc., 
Journal de Mathématiques, sér. 4, t. VI 1890. Chap. II.