wird, wie — 
Allgemeine Sätze über die Functionen u. § 4. 
Ausdrir 
d log (kr) 
für r — 0 der Ausdruck auf der linken Seite unendlich gross 
dr 
Gleichung zwischen u 0 und dem arithmetischen Mittel aus 
den Werthen u\ 
(66) 
'¿71 
<o • J~o( kr ) = ^ j üdcp . 
selben lauten: 
(68) 
u 0 ’kJ 0 ' (Jcr) 
in den Satz 
/ 
Wenn man analog mit dem Gleichungspaar (61'), (63') 
verfährt und dabei berücksichtigt, dass 
cos kr d /'sin kr\ sin kr d (cos kr\ Je 
r dr V r / r dr \ r J r 2 
ist, so ergiebt sich für das arithmetische Mittel der Werthe 
ü auf der Kugel vom Radius r die Relation: 
tan\ sin kr 
( 6? ) • jcr “ 4 
Eliminirt man umgekehrt aus (60') und (62') J udep, 
aus (61') und (63') j j üdco, so gelangt man zu einfachen 
Beziehungen zwischen u 0 und dem Mittelwerth von die 
(69) « 0 - f (cos ler - -= A // fi • 
Die Gleichungen (66), (67) gehen, wenn man h — 0 setzt, 
in den Gauss’schen Mittelwerthsatz, (68) und (69) dagegen 
dV ds = 0 bezw. I I do 
0 über. 
dn ~ j j 
Es sei noch erwähnt, dass sich die beiden ersten auch 
direct aus der in Polarcoordinaten transformirten Differential 
gleichung Au + k?u = 0 ableiten lassen, indem man die 
selbe über einen Kreis oder eine Kugelfläche integrirt; auf 
diese Weise ist die Gleichung (66) zuerst von H. Weber (vergl. 
§ 3 seiner Arbeit in Math. Ann. 1) und die Gleichung (67) 
von v. Helmholtz aufgestellt worden. —