Allgemeine Sätze über die Functionen u. § 4. 
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beim Potential; denn für bestimmte Werthe der Constanten 
kann es einzelne Punkte geben, in welchen u jenen (Maximal 
oder Minimal-) Werth annimmt. 
Besonders interessant ist der Umstand, dass es solche 
Werthe des Radius r giebt, für welche der Mittelwerth von 
ü verschivindet, ohne dass der Werth von u 0 — 0 ist; es sind 
dies für die Ebene die Wurzeln der transcendenten Gleichung 
J Q (kr) = 0, 
während sie für den dreidimensionalen Raum direct angebbar, 
nämlich = sind, falls n eine positive ganze Zahl be 
zeichnet. Es gilt somit der Satz: 
Auf einem Kreise bezw. einer Kugel von einem dieser 
specicllen Badien ist das arithmetische Mittel aus den Werthen 
u immer gleich Null, ganz einerlei, wo der Mittelpunkt liegt, 
sofern nur der Kreis oder die Kugel keinen singulären Punkt 
der Function u umschliesst. 
Hieraus folgt, wenn man irgend eine in einem gewissen 
Gebiete der Ebene oder des Raumes eindeutige, endliche und 
stetige Lösung u betrachtet, dass dieses Gebiet der Ebene von 
Linien, oder dieses Baumgebiet von Flächen durchzogen ist, auf 
ivelchen u verschwindet. Die Dimensionen der Bereiche, in welche 
die Ebene oder der Raum durch diese Curven oder Flächen 
zerschnitten wird, sind wenigstens in einer Richtung kleiner 
als die kleinste Wurzel von J 0 (kr) in der Ebene und kleiner 
als ~ im Raume (oder höchstens gleich diesen Werthen für 
ein kreis- bezw. kugelförmiges Gebiet); demnach ist die Ge- 
sammtzahl jener Bereiche, falls die ganze Ebene oder der 
ganze Raum in Betracht kommt, jedenfalls unendlich gross. 
In je zwei zusammenstossenden Gebieten hat u natürlich 
entgegengesetzte Vorzeichen. — In der Existenz dieser 
Nullcurven oder Nullflächen zeigt sich ein sehr wesent 
licher Unterschied der Functionen u, welche der Differential 
gleichung AM-f-fr 2 M=0 genügen, gegenüber den Potential 
functionen, und eine klare Analogie zu den periodischen 
Functionen; in der That haben wir ja auch schon besondere