Vorkommen der Differentialgleichung. § 1. 
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rentialgleichung 
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• Abhängigkeit von 
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irstellbarer Schwin- 
.ätigung in dem von 
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inem schwingenden 
mg einfacher Töne 
343; 62, 1 — 18, 1844. 
-290. 1859. 
ist, und dass ein einfacher Ton stets von einer harmonischen 
Schwingung hervorgebracht wird. 
Dass man bei Problemen der nicht stationären Wärme 
leitung die Abhängigkeit von der Zeit als durch eine Ex- 
ponentialfunction ausdrückbar annimmt, lässt sich nicht durch 
einen derartigen Erfahrungssatz begründen, sondern beruht 
wohl nur auf einer mathematischen Analogie. Denn durch 
die unmittelbare Erfahrung weiss man bei dem Problem der 
Wärmeleitung nur, dass nach hinreichend langer Zeit ein 
merklich stationärer Zustand eintritt, und ferner, dass die 
Temperatur eines sehr kleinen Körpers, der frei Wärme aus 
strahlt, nach einer geometrischen Proportion sinkt. 
Endlich giebt es auch gewisse Probleme der Potential 
theorie (cf. e und f), bei welchen man über die Abhängigkeit 
einer Potentialfunction V von der einen Raumcoordinate eine 
solche Annahme macht, dass V als Function der beiden an 
deren Coordinaten einer Differentialgleichung von der hier 
zu betrachtenden Form genügt. 
a. Wenn man auch in dem Falle, wo die Function u 
von nur einer Coordinate abhängt, nur eine gewöhnliche lineare 
Differentialgleichung zweiter Ordnung erhält, so ist es doch 
für das Verständniss des Folgenden von Nutzen, diesen Fall 
kurz mit zu behandeln und demnach mit dem berühmten 
Probleme der schwingenden Saite zu beginnen. 
Ist die Saite in der Ruhelage parallel der x-Axe, be 
zeichnet w die transversale Verrückung irgend eines Punktes, 
welche für alle Punkte in einer festen Ebene stattfinden 
möge, ferner p die Spannung und q die Masse der Längen 
einheit, so ergiebt sich, da die kinetische Energie durch 
i 
o 
die potentielle (bezogen auf die Ruhelage) durch 
gegeben ist (wo l die Länge der Saite bezeichnet), aus dem 
Hamilton’schen Princip die Bewegungsgleichung: