Allgemeine Sätze über die Functionen u. § 4. 
Werthe ^ gleich Null ist; auf jedem dieser Kreise oder 
Kugelflächen muss daher mindestens zweimal das Zeichen 
wechseln. Hieraus lässt sich weiter folgern, dass es unend 
lich viele Curven in der Ebene bezw. Flächen im Raume 
giebt, längs welcher (die Ableitung nach der Normale 
dieser Curven oder Flächen) verschwindet. Die Existenz 
dieser Curven (Flächen) ist indessen schon aus ihrer Eigenschaft 
als orthogonale Trajedorien der Curven (Flächen) u = Const. 
zu erschlossen, welche letzteren nach dem vorhin über die 
Theilung der Ebene bezw. des Raumes durch die Nulllinien 
bezw. Nullflächen Gesagten in unendlich grosser Anzahl 
(die ganze Ebene bezw. den ganzen Raum erfüllend) vorhanden 
sind. Ausser auf diesen orthogonalen Trajectorien verschwin 
det übrigens auch noch längs solcher Curven bezw. Flächen, 
auf welchen u einen Maximal- oder Minimalwerth besitzt. 
(Yergl. das Beispiel der ausgezeichneten Lösungen für Kreis 
und Kugel.) Ueber die durch diese Curven und Flächen, auf 
welchen ^ = 0 ist, erzeugte Zerschneidung der Ebene und 
des Raumes liessen sich ganz ähnliche Betrachtungen an 
stellen, wie über die Zerschneidung durch die Nullcurven 
und Nullflächen der Functionen u. Wir werden uns im 
Folgenden aber auf die letzteren beschränken, theils der 
grösseren Anschaulichkeit halber, theils, weil die Uebertra- 
gung der folgenden Resultate auf die Curven und Flächen, 
8 u 
für welche 
0 ist, keinerlei Schwierigkeiten darbietet. 
b. Betrachtung der zu einem gegebenen Werthe k 2 gehörenden 
Elcmentarbereiche. Gesetzmässigkeiten in der Gestalt derselben. 
Wie wir gesehen haben, giebt es für irgend eine in 
einem Theile der Ebene eindeutige, endliche und stetige, der 
Differentialgleichung Au -}- k 2 u = 0 genügende Function 
eine grössere oder geringere Anzahl von Nulllinien; die 
selben können theils in sich geschlossen sein, theils in’s