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Ueber die Gleichung: Au -)- k 2 u = 0. 
einen Punkt oder n Nullflächen einer Function u im Baume 
durch eine Curve. hindurchgehen, so schneiden sich dieselben unter 
gleichen Winkeln von ~ • 
Dass sich zwei Nullcurven bezw. -Flächen, wo sie sich 
allein treffen, senkrecht schneiden (was schon in II, § 6 bei 
der Construction der Knotenlinien des Quadrates benutzt wurde), 
lässt sich aus den Formeln (66) und (67) in Verbindung mit 
dem Taylor’schen Satze ableiten. Ist die Anzahl der sich 
schneidenden Nulllinien oder Nullflächen aber grösser, so ist 
erst die Entwickelung der Functionen u für die Umgebung eines 
nicht singulären Punktes überhaupt aufzustellen und dann für 
den Fall zu specialisiren, dass in dem betrachteten Punkte 
u den Werth 0 hat. 
Man kann, wenn man den letzterem zum Nullpunkte 
eines Polarcoordinatensystems wählt, die Function u in 
der Ebene in eine Fourier’sche Reihe, im Raume in eine 
Reihe nach Kugelflächenfunctionen entwickeln, deren Coef- 
ficienten Functionen von r sind. Durch Einsetzen der Reihen 
in die partielle Differentialgleichung ergeben sich dann für jene 
Coefficienten die in II, § 7 betrachteten gewöhnlichen Diffe 
rentialgleichungen (26') und (33), von deren Integralen hier 
nur die im Nullpunkte endlich bleibenden oder verschwinden- 
_x 
den, also J n {kr) bezw. r 2 J i {kr), benutzt werden dürfen. 
n+Y 
Demnach erhält man folgende Reihenentwickelungen für u: 
in der Ebene 
co 
(70) u = 2 J n (kr) {A n cos ncp -f- B n sin ng>), 
o 
im Raume 
co 
=2 V er ) 2 J 1 ß r ) • P n , m (cos ff) • {A„ t m cos m(p 
0 n ‘ 2 0 
+ P n ,m sin m <p). 
Ueber die Convergenz dieser Reihen liegen, so viel mir be 
kannt, noch keine Untersuchungen vor; aber für hinreichend 
kleine Werthe von r, auf die es für den gegenwärtigen Zweck