Allgemeine Sätze über die Functionen u. § 4. 
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nur ankommt, convergiren sie sicher. Um nun das Verhalten 
von u im Nullpunkte zu untersuchen, hat man nur das 
niedrigste Glied jeder Reihe beizubehalten; dasselbe sei (indem 
nämlich A 0 = B 0 = --- = A n -i = B n - X = 0 und A 0 , m = B 0 , m 
= ... — A n — 1)m — B n —i,m = 0 angenommen wird) 
J n (ltr){A n cos nep -f- -ß« sin n(p) 
bezw. 
(1er) 2 J L X (1er) y, m P n ,m (cosh) (A,, hm cos mcp-\- B n , m Anmcp), 
n+ 2 0 
wo nun auch die Bessel’schen Functionen durch die niedrig 
sten Glieder ihrer Potenzentwickelungen ersetzt werden 
können. Man sieht hieraus zunächst, dass u nur dann für 
r — 0 verschwinden kann, wenn die Ordnungszahl n des 
Anfangsgliedes ^>1 ist; ferner aber, dass in letzterem Falle 
in der Ebene durch den Nullpunkt n sich unter Winkeln von 
— schneidende Linien hindurchgehen, auf welchen u ver 
schwindet, und deren Tangenten im Nullpunkte durch 
A n cos nep -f- B n sin nep = 0 bestimmt sind, und dass im 
Raume durch den Nullpunkt Nullflächen von u hindurchgehen 
die sich daselbst wie die Kegel und Meridianebenen verhalten, 
auf welchen die Kugelflächenfunction 
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Jn P n>m (cos &)(A ni m COS 1/YlCp -j- B^m SH1 MCp) = S n , tp) 
0 
gleich Null ist. Damit sich die durch den betrachteten 
Punkt im Raume gehenden Nullflächen in einer Linifi schnei 
den, muss sich diese Kugelflächenfunction S w (9’, cp) auf eine 
sectorielle 
sin” ff • (A Kj n cos nep -f- B n , n sin ncp) 
reduciren; in diesem Falle ist aber klar, dass je zwei Null 
flächen von u mit einander den Winkel — bilden, weil dies 
von den Meridianebenen gilt, auf denen diese letztere Kugel 
flächenfunction verschwindet. — Damit ist der oben auf 
gestellte Satz bewiesen. Derselbe gilt auch noch für die 
Lösungen der Differentialgleichung Au -f- Wf. u — 0, falls