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Ueber die Gleichung: Au -{- №u — 0 
die Function f als analytisch vorausgesetzt wird; denn in 
diesem Falle kann die letztere innerhalb eines sehr kleinen 
Bereiches als constant angesehen werden, und sind daher 
die Anfangsglieder der Entwickelung ebenfalls 
Dagegen schneiden sich die Nulllinien oder Nullflächen der 
Lösungen der allgemeinen Differentialgleichungen von der 
Form (2) und (3) S. 20, in welchen a 0 = 0 sei, nicht unter 
gleichen Winkeln. Denn man erhält, wenn man die Func 
tionen aj h k und a in dem betrachteten Bereiche als constant 
behandeln kann, den Verlauf jener Linien und Flächen 
aus dem für die Lösungen von Ati-{-h 2 u — 0 stattfinden 
den durch eine affine Abbildung, da man die Differentialglei 
chungen (2) und (3) mit constanten Coefficienten und fehlen 
dem Gliede a 0 durch eine lineare Coordinatentransformation 
auf die Form Au -f- h 2 u — 0 bringen kann; bei einer affinen 
Abbildung werden aber im Allgemeinen die Winkel zwischen 
zwei Linien bezw. Flächen geändert. 
Die Reihenentwickelungen (70) und (71) sind das Analogon 
co 
zu der Reihe 2r r n (A n cos mp -f- B n sin ncp) für logarith- 
o 
mische Potentiale und zu der Entwickelung Newton’scher 
Potentiale nach steigenden räumlichen Kugelfunctionen. — 
Sie können u. a. dazu dienen, beliebig viele m einem gegebenen 
1c 2 gehörende Functionen u hinmschreiben, indem man nämlich 
die Coefficienten A, B willkürlich annimmt, jedoch jeden 
falls so, dass die Reihe convergirt; sofern man dann die 
Linien bezw. Flächen bestimmen kann, auf welchen die 
erhaltene Reihe verschwindet, findet man auch beliebig viele 
zu dem gegebenen h 2 gehörige Elementarbereiche. 
Schliesslich sei hier noch einmal an das Verhalten der 
Functionen u an den ausserwesentlich singulären Stellen der 
früher betrachteten Art erinnert, welches, wie wir S. 190 
sahen, durch die Functionen 
Y n (hr) cos n(cp —- cpf) oder (kr)~ n cos n(<p — cp n )