230 Ueber die Gleichung: Au -|- Ji 2 u = 0.
lässt dann unendlich viele solche Flächen- und Volumelemente
von unendlich kleiner Intensität sich zu endlichen Flächen-
und Raumgebieten anhäufen.
Wie zuerst H v. Helmholtz in seiner grundlegenden
Abhandlung über die Luftschwingungen in Röhren mit offe
nen Enden (Crelle’s Journal 57) hervorgehoben hat, kann
man nun ebenso bei unseren Functionen u verfahren, und
muss dies sogar eigentlich thun, wenn man physikalische
Anwendungen im Auge hat, da ja in der Physik keine in
mathematischen Punkten concentrirte periodische Kräfte,
Schall- und Wärmequellen Vorkommen. Wir wollen uns
hierbei auf die Functionen u im Baume beschränken; für
die Ebene (oder krumme Flächen) treten in leicht ersicht
licher Weise Linienbelegungen von Erregungspunkten an die
Stelle der Flächenbelegungen, und von Erregungspunkten
erfüllte Flächenstücke an die Stelle solcher Raumtheile. Die
Constante & 2 kann im Folgenden sowohl positiv als negativ
sein, wenn darüber nichts ausdrücklich bemerkt wird. —
Es ist für das Folgende von Wichtigkeit, die Bedeutung
des Wortes Function zu präcisiren. Während man früher
diese Benennung auf jede durch einen bestimmten analytischen
Ausdruck dargestellte veränderliche Grösse anwandte, versteht
man bekanntlich in der modernen Functionentheorie unter
einer Function die Gesammtheit der analytischen Fortsetzungen
eines Functionenelementes, d. h. der Werthe in einem beliebig
kleinen Bereiche. Diese beiden Definitionen fallen keines
wegs immer zusammen; es kann z. B. ein und derselbe ana
lytische Ausdruck (etwa ein bestimmtes Integral) in zwei
aneinander grenzenden Gebieten ganz verschiedene Functionen
darstellen, oder er kann an einer Linie bezw. Fläche unstetig
sein, indem er nur einen Zweig einer Function darstellt, die
selbst durchaus stetig verläuft. Wir werden uns auf den
neueren Standpunkt stellen und dementsprechend die Helm
holtz’sehen Sätze stellenweise im Ausdrucke modificiren.
Ist ein Raumgebiet T, welches übrigens aus beliebig vielen
getrennten Stücken bestehen kann, von einfachen Erregungs
punkten von der auf die Volumeinheit bezogenen Intensität q
