Allgemeine Sätze über die Functionen u. § 5. 
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continuirlich erfüllt, und sind ausserdem im unendlichen 
Raume nirgends Erregungspunkte oder singuläre Punkte vor- 
handen, so ist eine Lösung von Am -J- 7c 2 m = 0 für den 
Raum ausserhalb des Gebietes T nach dem oben Gesagten 
gegeben durch 
O ö 
wo r die Entfernung des Punktes x t y, z, für welchen der 
Werth von u angegeben wird, vom Volumelement dv be 
zeichnet, und das erste Integral über den Raumtheil T, das 
zweite über den ganzen Raum zu erstrecken ist. Dieses zweite 
Integral, in welchem q' an jeder Stelle des Raumes beliebig 
vorgeschrieben sein kann, sofern nur das Integral einen Sinn 
hat, stellt eine im ganzen Baume endliche Lösung von 
A u -f- k 2 u — 0, also eine ausgezeichnete Lösung für den unendlichen 
Baum dar und entspricht der willkürlichen Constanten, welche 
im Newton'sehen Potential einer gegebenen Massenvertheilung 
unbestimmt bleibt. Man sieht, dass hierbei in der Theorie 
der Functionen u eine ausserordentlich viel grössere Unbe 
stimmtheit besteht, als in der Potentialtheorie, was man sich 
auch an der physikalischen Bedeutung dieser Functionen als 
Geschwindigkeitspotentiale der Luftschwingungen von ge 
gebener Schwingungsdauer leicht klar machen kann; denn 
ausser den durch die gegebenen Schallquellen erregten Schwin 
gungen können ja im unendlichen Raume irgendwelche 
stehende Wellen von der gleichen Periode, die für sich weiter 
bestehen, vorhanden sein. 
H. v. Helmholtz nennt a. a. 0. den Ausdruck (72) das 
Geschwindigkeitspotential der den Baum T stetig erfüllenden 
Erregungspunkte und die Grösse q die Dichtigkeit der Verthei- 
lung der Erregungspunkte; dazu ist selbstverständlich zu be 
merken, dass eigentlich erst die mit einer trigonometrischen 
Function der Zeit: cos ^ (t — t') multiplicirte Function u das 
Geschwindigkeitspotential der Luftschwingungen bedeutet. 
Das Integral 
p' 81 ^ r dv genügt im ganzen Raume,