232 
Ueber die Gleichung: Au -fi k' z u = 0. 
auch da, wo q' von Null verschieden ist, der Differential- 
g'leichung Au -f- k 2 u — 0, weil die Function S ^~- auch noch 
im Punkte r = 0, wo sie den Werth 1 annimmt, jene 
Differentialgleichung erfüllt. Dagegen genügt das Integral 
betrachtet als Function der Coordinaten des Punktes x, y, s, der 
obigen Differentialgleichung nur in dem Raume ausserhalb T, 
während für sie innerhalb des von Erregungspunkten erfüllten 
Gebietes T die Differentialgleichung 
Au' -f- h 2 u' = — 
besteht. Dass letztere Gleichung wirklich erfüllt ist, ergiebt 
sich genau in derselben Weise, wie für das Körperpotential 
fff q denn zerlegt man u in ein Integral u", wel 
ches über den ganzen Raum T mit Ausschluss einer sehr 
kleinen, den betrachteten PunktP umgebenden Kugel erstreckt 
ist, und in ein über die letztere genommenes Integral u'", 
so erfüllt u" wie gewöhnlich die Gleichung Au" -j- lc 2 u" — 0, 
und u" ist, da der Radius der erwähnten Kugel jedenfalls 
sehr klein gegen * angenommen werden kann, bei Vernach 
lässigung kleiner Grössen zweiter Ordnung durch das New- 
ton’sche Potential J J J ~F* J ener Kugel ersetzbar, für 
welches bekanntlich Au'" + h 2 u"' = — 4%q ist. Dabei ist 
allerdings vorausgesetzt, dass q gewissen Stetigkeitsbedin 
gungen genüge, auf welche hier nicht näher eingegangen 
werden soll-, man vergleiche über diesen Gegenstand die 
Dissertation von 0. Holder (Beiträge zur Potentialtheorie; 
Stuttgart 1882). 
Aus Vorstehendem folgt, dass im Gebiete T der durch (72) 
dargestellte Ausdruck der partiellen Differentialgleichung 
(73) 
Au -f- Wu — — 4 
genügt. — Die hier angedeutete Ableitung dieses Satzes ist bei 
Helmholts vollständig durchgeführt und findet sich ähnlich in