Bestimmung der Functionen u ans gegebenen Rand- 
werthen und verwandten Bedingungen. 
Vorbemerkung. In diesem letzten Theile unserer Darstel 
lung werden wir uns vorwiegend mit der Aufgabe beschäftigen, 
für gegebene Bereiche die Differentialgleichung Au + k 2 u = 0, 
worin /c 2 eine gegebene Constante ist, so zu integriren, dass die 
Lösung u innerhalb des gegebenen Bereiches überall eindeutig, 
endlich und (nebst ihren ersten Derivirten) stetig ist, und dass 
längs dessen Begrenzung entweder u, oder , oder hu -f- ^ 
(mit constantem h") vorgeschriebene Werthe annimmt. Die hier 
auf bezüglichen Betrachtungen würden mit leicht erkennbaren 
Modificationen auf die Differentialgleichung Au-\-k 2 fu — 0 
oder eine solche von der allgemeinsten in I, § 3 angegebenen 
Form übertragbar sein, in letzterem Falle allerdings unter 
der Voraussetzung, dass statt hu -f- der in II, § 1 und § 4 
angegebene lineare Ausdruck au-\-y x -f- “1" V* fff für 
Begrenzung gegeben wird. Auf diese Verallgemeinerung des 
Problems soll aber nur insoweit besonders eingegangen wer 
den, als bereits Arbeiten darüber vorhanden sind. 
Wir werden im Folgenden die oben formulirten Probleme 
immer kurz als Bandwerthaufgaben bezeichnen und zwar als 
erste, wenn die Werthe von ü, als zweite, wenn diejenigen 
von , und als dritte, wenn die Werthe von hü 4- f— an der 
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Begrenzung gegeben sind; dass wir diese Bezeichnung auch 
auf die räumlichen Probleme an wenden, wo man eigentlich