Lösung der Randwerthaufgaben. § 1.
nicht von einem „Rande u des Bereiches reden kann, dürfte
im Interesse der Kürze wohl zu rechtfertigen sein.
Physikalisches Vorkommen der Randwerthaufgaben.
Wie überhaupt in der vorliegenden Abhandlung, so
werden wir uns insbesondere in diesem letzten Theile, über
dessen Gegenstand bisher erst wenige zu sicheren Resultaten
führende mathematische Arbeiten existiren, von der physi
kalischen Erfahrung, bezw. der physikalischen Evidenz ge
wisser Sätze leiten lassen. Es ist daher nothwendig, dass
wir uns zunächst diejenigen physikalischen Probleme ver
gegenwärtigen, welche auf die Randwerthaufgaben führen.
Die anschaulichsten derselben sind die Probleme der erzwun
genen Schwingungen, bei welchen das k 2 der Differentialglei
chung durch die Periode der die Schwingung unterhaltenden
Kräfte gegeben ist. —
I. Die erste Randwerthaufgabe tritt auf:
a) bei den erzwungenen Schwingungen einer Membran,
deren Randpunkte durch äussere Kräfte in einer gegebenen,
periodischen, transversalen Bewegung erhalten werden;
b) bei der Bestimmung des Gleichgewichts einer gespannten
Membran, auf welche, nachdem ihren auf einer verticalen
CylinderfTäche verschiebbaren Randpunkten irgend welche
unendlich kleine verticale Verrückungen ertheilt worden sind,
bis zu einem beliebig hoch über ihrer ursprünglichen hori
zontalen Gleichgewichtslage liegenden Niveau eine schwere
Flüssigkeit gegossen ist (vergl. I, B, § 2, a);
c) sodann bei der nichtstationären Wärmeleitung in einem
Körper, dessen Oberfläche, falls unter ü(x, y, z) eine längs
derselben gegebene Function verstanden wird, nach dem Ge
setze we -iIß5< erkaltet, wofür ein selbst schlecht leitender, von
einer frei ausstrahlenden, sehr gut leitenden Hülle von über
wiegender Masse umgebener Körper ein specielles Beispiel (bei
welchem ü constant ist) darbietet. —
In allen diesen Fällen ist der gegebene Werth k 2 positiv.
Bei negativem k 2 tritt die erste Randwerthaufgabe für zwei
dimensionale Bereiche auf:
Po ekel s, Differentialgleichung. 16
