Lösung der Randwerthaufgaben. § 3. 
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quadratische Form definit sei ; ist, da wir dies von der Form 
A'£ 2 -f- 2J5|^ -j- A"'rf ausdrücklich vorausgesetzt haben, 
immer erfüllt, wenn die Function f im ganzen Gebiete positiv 
(oder gleich Null) und die Constante A negativ ist oder um 
gekehrt. In diesem Falle ist also, wenn ausserdem a > 0 
ist, die Lösung der Randwerthaufgabe, falls sie existirt, 
immer eindeutig. Derselbe kommt in der Physik z. B. vor 
bei dem Problem der stationären Wärmeströmung in einer 
dünnen krystallinischen leitenden Platte, deren Flächen gegen 
die Umgebung von der constanten Temperatur 0 (oder auch 
von variabeler Temperatur, wo dann in der Differential 
gleichung noch das, wie wir oben gesehen haben, für die 
gegenwärtige Betrachtung irrelevante absolute Glied hinzu 
träte) frei Wärme ausstrahlen, und hierbei ist es in der That, 
wenigstens für die erste und dritte Randwerthaufgabe, evi 
dent, dass nur eine Lösung existirt (vergl. § 1 dieses Theiles). 
Sind die Functionen A' } B, A", f für die ganze Ebene 
erklärt, und ist die oben genannte Bedingung in allen 
Punkten derselben erfüllt, so kann man schliessen, dass die 
erste und zweite Randwerthaufgabe und bei positiven Werthen 
von a auch die dritte für beliebig grosse Bereiche nur je eine 
einzige Lösung besitzen. 
Wenn die Function If nicht überall negativ ist oder gar 
in der ganzen Ebene positiv, wie im Falle der Differential 
gleichung Au -f- k?u = 0 mit reellem k, so lässt sich nicht 
ohne Weiteres entscheiden, ob nur eine Lösung existiren 
kann. Picard*) hat für die erste Randwerthaufgabe ein 
Mittel zu dieser Entscheidung angegeben, welches auf die 
Differentialgleichung Au -f- A/'w = 0**) anwendbar ist oder 
auch auf die allgemeinere 
*) Picard, Acta mathematica XII, p. 323—338. Die Verallgemeine 
rung findet sich in der schon früher erwähnten neueren Abhandlung: 
Mémoire sur la théorie des équations aux dérivées partielles et la 
méthode des approximations successives. Journ. de Math. (4) VI, 1890; 
p. 145—210. Cap. I. Vergl. darüber weiter unten. 
**) Auf die von H. A. Schwarz angestellte ausführliche Unter 
suchung über die erste Randwerthaufgabe für die Lösungen dieser 
Differentialgleichung kommen wir später zurück. 
Dock eis, Differentialgleichung. 
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