Lösung der Randwerthaufgaben. § 3. 
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wird nun vorausgesetzt, dass die quadratische Form 
n 
n 
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definit, die Differentialgleichung D n (u) = yu d also vom 
„ellipsoidischen“ Typus ist, und dass ausserdem y im ganzen 
Bereiche dasselbe Vorzeichen hat, wie jene quadratische Form, 
so folgt aus der vorstehenden Relation, dass u im ganzen 
Gebiete verscluvinden muss, wenn die Eandwerthe ü = 0 sind. 
Ferner beweist Bianchi auf ganz analogem Wege, wie im 
Falle von zwei Dimensionen, den Satz: 
Wenn die Differentialgleichung D n (u) = yu eine endliche 
und stetige Lösung besitzt, welche iveder im Innern des Gebietes, 
noch auf dessen Begrenzung gleich Nidl wird, so fallen zwei 
Lösungen, welche auf der letzteren übereinstimmen, auch im 
ganzen Gebiete zusammen, 
und mit Hülfe desselben den allgemeinen Satz: 
Die regulären Integrale einer Differentialgleichung D n (u) 
— yu -j- d vom ellipsoidischen Typus sind für geschlossene 
Gebiete S n , deren Dimensionen gewisse Grenzen nicht über 
schreiten, durch ihre Eandwerthe eindeutig bestimmt. 
Einen Versuch zur Abschätzung jener Grenzen, welche 
das Gebiet nicht überschreiten darf, hat Bianchi, auch für den 
Fall von zwei Dimensionen, nicht gemacht. Das einzige 
Mittel, welches hierfür bisher angegeben ist, ist die oben 
besprochene von Picard angegebene Ungleichung und ein 
später mitzutheilendes Grenzverfahren von H. A. Schwarz, 
welches sich ebenfalls auf die Differentialgleichung Au-\-h 2 fu 
— 0 bezieht. 
Es sei noch erwähnt, dass die Sätze Bianchi’s auch 
ebenso für die verallgemeinerte zweite Randwerthaufgabe, 
worunter die Bestimmung einer Lösung von D n {u) = yu -j-d