Lösung der Randwertaufgaben. § 4. 
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Dass es die oben definirte Function G v wirklich giebt, ist 
für beliebig begrenzte ebene Bereiche dadurch plausibel; dass 
eine in einen festen Rahmen gespannte Membran durch solche, 
in inneren Punkten x 0 , y 0 , ..x h , y^.. angreifende periodische 
Kräfte, welche bei den Eigenschwingungen der Membran 
von gleicher Periode zusammengenommen im Mittel (d. h. 
während einer Periode) keine Arbeit leisten, in erzwungene 
Schwingungen von endlicher Amplitude versetzt werden wird. 
Damit aber die äusseren Kräfte bei jeder Eigenschwingung 
von der gegebenen Schwingungsdauer keine Arbeit leisten, 
müssen im Falle, wo k 2 ein v-facher ausgezeichneter Werth 
ist, in mindestens v -f- 1 Punkten x Q , y 0 , ... x v , y v solche 
Kräfte angenommen und ihre Intensitäten, welche ja mit den 
Coefficienten o 0 , . . . a v der unendlich gross werdenden Glieder 
der Entwickelung von G v proportional sind, so gewählt wer 
den, dass die Ausdrücke 
a o u i(?o> yo) + a i u Á x i> ifiH b «vtti(av, yv), 
a 0 u v (x 0 , ^/q) -j— Oi-^Uy(xy, i/j) -j— •• • -j- & v Uv(xy, yl) 
verschwinden; dieser giebt sich leicht auf Grund einer ganz ähn 
lichen Betrachtung, wie wir sie oben (S. 292—93) zur Ableitung 
der Bedingungen für die Randwerthe u angestellt haben. Das 
Verschwinden der vorstehenden Ausdrücke ist aber gerade 
in den Gleichungen (80), welche die Constanten a 0 , . . . a v der 
Function G v definirten, ausgesprochen. Nur wenn die Punkte 
x 0 , y 0 ,.\.x r , y V) in denen die Kräfte angreifen, ganz specielle 
Lagen haben (für welche die sämmtlichen Determinanten (81b) 
verschwinden, und somit die Constanten die Form ~ an 
nehmen), z. B. wenn sie bei allen Eigenschwingungen von 
der durch k 2 gegebenen Periode in Ruhe bleiben, können die 
Intensitäten der Kräfte beliebig sein. 
Da Kräfte, welche den erwähnten Bedingungen unter 
liegen, eine etwa vorhandene Eigenschwingung nicht beein 
flussen, so kann in der Schwingungsart, welcher die Function 
G v entspricht, eine beliebige Eigenschwingung enthalten sein; 
in der Function G v bleibt also ein lineares Aggregat der Normal