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Ueber die Gleichung: Au -{- k 2 u — 0. 
Es kommt also, um zu erfahren, ob in einem gegebenen 
Falle das Schwärs’sehe Lösungsverfahren anwendbar ist, 
darauf an, ein Merkmal für die Convergens der obigen un 
endlichen Reihe zu besitzen. — H. A. Schivars hat nun be 
wiesen, dass die Reihe unbedingt und gleichmässig convergirt, 
wenn eine endliche und stetige Lösung w der gegebenen Diffe 
rentialgleichung existirt, welche im gansen betrachteten Bereiche, 
einschliesslich der Begrensung, nur positive, von 0 verschiedene 
Werthe annimmt. Nun lässt sich aber zeigen, dass es eine 
solche Lösung w stets dann giebt, wenn die in II, § 10 ein 
geführte, für den Bereich charakteristische Constante c < 1 ist. 
Haben nämlich w n und W n die 1. c. erklärte Bedeutung, so 
w n 
bleibt bei wachsendem n der Quotient , stets kleiner 
1/w 2n 
w n 
als eine endliche Grösse Q, und da lim — c ist, so 
]V n — 1 
lässt sich schliessen, dass die unendliche Reihe 
Wq —j- w^t -f- w%t" —j- • • • —J— iv n t a -{- • • • 
convergirt, wenn t < ~ ist. Falls nun c< 1 ist, so kann man 
demnach t = 1 setzen und erhält durch die convergente Reihe 
w 0 -j- w x 4" • • • -j- W n -f- • • • 
eine Lösung von Au -f- k 2 f• u — 0, welche den Stetigkeits 
bedingungen genügt, auf dem Rande den Werth w 0 = -\r \ 
hat und auch im Innern des Bereiches nur positive Werthe 
besitzt; letzteres folgt aus der Integraldarstellung (48) in 
Verbindung mit der Voraussetzung, dass die Function k 2 f(x,y) 
(p bei Schwärs) nur positive Werthe annimmt. — Das 
Resultat ist also, dass die Schwärs’sehe Approximations 
methode für solche Bereiche und solche Werthe von k 2 anwend 
bar ist, bei ivelchen sich die Constante 
c 
lim 
Jj f w n — 1 üi,dr[ 
kleiner als Eins ergiebt. Dies bedeutet gemäss dem in 
II, § 10 Gesagten nichts Anderes, als dass der Werth von