Lösung der Randwerthaufgaben. § 5. 
321 
k 2 ldeiner sein muss ; als der Meinste ausgezeichnete Werth fin 
den gegebenen Bereich bei der Grenzbedingung ü — 0. 
Die bei dem Convergenzbeweise von Schwarz benutzte 
Voraussetzung, dass es eine endliche, stetige Lösung u 
(oder w) gebe, welche innerhalb des betrachteten Bereiches 
und auf seiner Begrenzung überall >0 ist, stimmt überein 
mit derjenigen, unter welcher Bianchi die Eindeutigkeit der 
ersten Randwerthaufgabe für die von ihm betrachtete all 
gemeinste partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung 
vom elliptischen Typus bewiesen hat (cf. § 3 dieses Theiles). 
Andererseits hat Picard (in der ebendaselbst besprochenen 
Abhandlung*)) als (hinreichende, nicht nothwendige) Bedin 
gung für die Eindeutigkeit des Problems für die speciellere 
Differentialgleichung Au -f- k 2 f-u = 0 die Ungleichung 
angegeben, welche für zwei beliebig wählbare, endliche und 
stetige Functionen B' und B" im ganzen Bereiche bestehen 
muss. Nun hat Picard im zweiten Theile jener Arbeit gezeigt, 
dass diese Ungleichung die andere c < 1 zur Folge hat, so 
dass also die Möglichkeit, zwei ihr genügende Functionen B', B” 
zu bestimmen, auch hinreichend ist, damit man das Schwarz’sehe 
Lösungsverfahren anwenden kann. — Dies ergiebt sich folgen- 
dermassen. Zwischen den von Schwarz eingeführten Integralen 
’ dw m Vw n dw m OW n 
m 
dxdy 
m n m 7 
dx dx dy dy 
bestehen die Relationen**) 
UV UV — h,h Ui — h,h-j-1 j 
wo h irgend eine ganze positive Zahl, die < n ist, bezeich 
net. Aus denselben ist ableitbar: 
*) Sur une classe d’équations linéaires aux dérivées partielles du 
second ordre. Acta math. XII. 1889. p. 323—338. 
**) H. A. Schwarz, 1. c. p. 25, 26. 
Pockels, Differentialgleichung. 
21