Lösung der Randwerthaufgaben. § 5. 325
zeigt hat, eine im Innern positive, am Hände verschwindende
Lösung der Differentialgleichung existiren würde, was im
Widerspruche stände zu der aus der Picard’sehen Ungleichung
folgenden Eindeutigkeit der Randwerthaufgabe. Folglich ist
c < 1, w. z. b. w. —
Ob nun das Picard' sehe Kennzeichen für die Anwend
barkeit des Lösungsverfahrens von Schwarz, nämlich die
Möglichkeit, zwei der angegebenen Ungleichung genügende
Functionen B', B" aufzufinden, praktisch brauchbarer ist,
als die directe Auswerthung von c, welche ja allerdings die
Herstellung einer unendlichen Reihe von Functionen erfordert,
lässt sich allgemein nicht sagen; in besonderen Fällen kann
es immerhin wohl der Fall sein.
Wir haben schon in § 3 dieses Theiles gesehen, dass
in dem speciellen Falle f — 1 die Picard’.sehe Ungleichung
immer dann erfüllt ist, wenn der gegebene Bereich ganz
innerhalb eines Parallelstreifens von der Breite ~, d. h.
innerhalb eines Bereiches liegt, für welchen der kleinste
ausgezeichnete Werth gleich dem gegebenen k 2 ist. Dieses
letztere Merkmal für die Anwendbarkeit des Schwarz’sehen
Lösungsverfahrens ergiebt sich übrigens auch für die all
gemeine Differentialgleichung Au -f- k 2 f-u = 0 direct aus
dem Satze von Schwarz über die stetige Verkleinerung von c
bei stetiger Zusammenziehung der Begrenzung (cf. II, § 11).
Denn wenn man weiss, dass das gegebene k 2 der kleinste aus
gezeichnete Werth ist für einen Bereich, welcher den gegebenen
ganz in sich enthält, und dass somit die Constante c des erste
llen Bereiches den Werth 1 hat, so folgt daraus nach dem
erwähnten Satze, dass der gegebene Werth von k 2 kleiner
ist, als der kleinste ausgezeichnete Werth des gegebenen
Bereiches, oder dass c für letzteren < 1, und somit das
Verfahren convergent ist. —
Die Methode von Schwarz ist also, allgemein zu reden,
nur auf hinreichend kleine Bereiche anwendbar*). Ihrer Aus
*) Unter dieser Beschränkung hat Picard im Cap. II der schon
erwähnten zweiten Arbeit auch die Integration der allgemeineren
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