Lösung der Randwerthaufgaben. § 5. 
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solche Bereiche, für welche die Schwarz’sehe Methode im 
Falle eines positiven Je 2 zum Ziele führt, dieselbe auch an 
wenden, wenn h 2 negativ ist. In letzterem Falle kann man 
nun aber, wie Picard gezeigt hat, von Bereichen der eben 
bezeichneten Art mittelst des alternirenden Verfahrens zu be 
liebig grossen, aus ersteren zusammengesetzten Bereichen fort 
schreiten, vorausgesetzt, dass die Function f in der ganzen 
Ebene positive Werthe hat. Dies ergiebt sich folgendermassen. 
Es gilt zunächst im betrachteten Falle der Satz, dass 
jede Lösung u, welche auf einer beliebigen geschlossenen 
Curve C durchaus positiv oder = 0 ist, in dem von letzterer 
umschlossenen Gebiete nicht ^0 werden kann; denn andernfalls 
müsste sie auf irgend einer innerhalb C verlaufenden geschlos 
senen Curve, und daher, weil es bei negativem h 2 keine aus 
gezeichneten Lösungen giebt, auch im ganzen Inneren der 
letzteren = 0 sein, was nach der Voraussetzung nicht mög 
lich ist. Ist nun u 0 diejenige Lösung von Au = 0, welche 
dieselben als positiv vorausgesetzten Randwerthe besitzt, wie 
die Lösung von Au — h' 2 f-u — 0, so folgt aus der Formel 
in Verbindung mit vorstehendem Satze, dass immer u — w 0 <0, 
also im ganzen Bereiche u < u 0 ist. 
Es sei nun die Begrenzung des betrachteten Bereiches 
in zwei Theile L l und L 2 getheilt, deren Endpunkte durch 
eine beliebige Curve L innerhalb des Bereiches verbunden 
seien, und es sei w eine endliche, stetige Lösung von 
Aiv — Je' 2 f.w — 0, welche auf L x = 1, auf L 2 =» 0 ist, so 
wie w 0 die entsprechende Lösung von Aw = 0. Dann ist 
längs der Linie L, wie Schwarz gezeigt hat, w 0 <fq, wo q<l 
ist; da nun im ganzen Bereiche w < w 0 ist, so ist längs 
L auch w < g. 
Hieraus folgt jetzt, dass für die Lösungen von 
Au — le' 2 f.u — 0 auch der von Schwarz für logarithmi- 
sche Potentiale bewiesene, in § 2, c angeführte Hülfssatz 
gilt, auf welchem gerade die Anwendbarkeit der Combinations-