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Ueber die Gleichung: Au -|- k~u = 0. 
methode beruht. Die letztere ist also im Falle eines nega 
tiven k? in der That bei der Differentialgleichung Au-\-k?f.u=0 
anwendbar und ermöglicht in Verbindung mit dem Schwärz- 
schen Approximationsverfahren die Lösung der ersten Rand 
werthaufgabe für alle diejenigen Bereiche, für welche diese 
Aufgabe in der Theorie des logarithmisehen Potentials lös 
bar ist, d. h. für solche, deren Begrenzung aus einer end 
lichen Anzahl von Stücken analytischer Linien besteht. — 
§ 6. Methode der Reihenentwickelung. 
Die Lösung der Randwerthaufgaben in der Theorie der 
Differentialgleichung Au-\-k?u = 0 nach der Reihenmethode 
ist noch wenig der Gegenstand der Untersuchung gewesen, wie 
man sich überhaupt bislang mehr für diejenigen Probleme 
interessirte, bei welchen die ausgezeichneten Lösungen zu be 
stimmen sind (— Eigenschwingungen, Erkaltungsproblem —), 
als für solche, bei welchen es auf die Integration der Diffe 
rentialgleichung bei vorgeschriebenen Randwerthen von ü, 
oder hü 4- ankommt. 
1 on 
Hinsichtlich des allgemeinen Falles, in welchem die 
Lösung der Randwerthaufgaben durch Reihenentwickelung 
überhaupt möglich ist, gilt auch hier diejenige Bemerkung, 
welche wir in Bezug auf dieselbe Frage in der Potential 
theorie unter e) des § 2, S. 265 gemacht haben; d. h. also, 
jene Möglichkeit ist vorhanden, wenn der gegebene Bereich 
durch höchstens 4 Curvenstücke bezw. 6 Flächenstücke von 
der Art begrenzt wird, dass man Coordinaten £, g bezw. 
7], % einführen kann, von denen je eine auf jedem Stücke 
der Begrenzung constant ist, und für welche die Differential 
gleichung Au -)- k 2 u — 0 eine Form annimmt, der, eventuell 
nach Abtrennung eines bestimmten Factors _F(|, rj, £) von u, 
durch Producte von der Form E Ä (|) H,:^) bezw. E Ä (|)-Hi(^)‘Z Ä (^) 
genügt werden kann*). Die Randwerthaufgabe (— im All 
*) Ueber eine allgemeine Form einer partiellen Differentialglei 
chung mit zwei unabhängigen Variabein, für welche dies möglich ist, 
vergl. II, § 8, d, S. 136.