332 Ueber die Gleichung: Au -f- h 2 u — 0. 
Reihen von der angegebenen Form lösen, weil man der Be 
dingung hü -f- = 0 längs der Radien nicht genügen kann; 
es müsste, damit das gleiche Verfahren anwendbar wäre, 
auf der letzteren nicht hü 4-^, sondern hü 4-riß- ge- 
geben sein. 
Der allgemeine Fall, für welchen das Vorstehende ein 
Beispiel gab, würde bei ebenen Bereichen folgender sein, 
falls es sich um die erste Randwerthaufgabe handelt. Man 
erhielte durch Einführung solcher Coordinaten, von denen 
je eine auf einer Begrenzungscurve constant ist, eine par 
tielle Differentialgleichung von der Form (43), S. 136. Die 
selbe soll durch Reihen von der Form 
^}(A a X a + Aa'Xa') CB. Y a + B: YJ) 
integrirt werden, worin X a , Xd und Y a , Yd Particular- 
lösungen der gewöhnlichen Differentialgleichungen (43') sind. 
Den Parameter a und das Verhältnis Ad: A a hätte man zu 
nächst für jedes Glied so zu bestimmen, dass A a X a -|- Ad Xd 
auf den Begrenzungscurven x — Const. verschwindet, und 
dann die Coefficienten B a , Bd (oder eigentlich ihre Producte 
mit A a , dessen absoluter Werth ja noch unbestimmt geblieben 
ist) so, dass die Reihe längs der Curven y — Const. die dort 
gegebenen willkürlichen Functionen ü(cc) darstellt; ersteres ist 
nach dem Oscillationstheorem, letzteres nach dem mehrfach 
erwähnten Satze von Liotiville möglich. Zu der so erhaltenen 
Reihe ist eine zweite hinzuzufügen, worin die Constanten a 
und Bd: B a gemäss der Bedingung, dass B a Y -f- Bd Y' auf 
den Curven y = Const. verschwindet, zu bestimmen sind, 
und dann die Coefficienten A a und Ad (multiplicirt mit Bd) 
so, dass die Reihe auf den Grenzcurven x = Const. die 
gegebenen Functionen von y darstellt*). Die Parameter a 
*) Dass wir bier die Aufgabe nur in zwei, statt, wie es dem 
S. 265 angegebenen Verfahren entspräche, in vier speciellere Aufgaben 
zerlegt haben, ist, wie man ohne Weiteres erkennen wird, ein rein 
äusserlicher Unterschied.