Lösung der Randwerthaufgaben, § 6. 
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der einen Reihe werden immer 'positiv, die der anderen 
negativ sein 7 vorausgesetzt, dass a n und a 22 in (43) gleiche 
Vorzeichen haben. — Die Summe der beiden so gewonne 
nen Reihen ist dann die verlangte Lösung der ersten Rand 
werthaufgabe. Wie bei der zweiten Randwerthaufgabe zu 
verfahren ist, kann man leicht aus dem oben besprochenen 
Beispiele ersehen. 
Von ebenen Bereichen sind ausser dem Kreis und Kreis 
ring noch die Fläche einer Vollellipse und das Ringgebiet 
zwischen zwei confocalen Ellipsen von Mathieu behandelt 
worden*), welcher jedoch die Lösung für diese letzteren 
Fälle nicht vollständig durchgeführt, sondern eigentlich nur 
gezeigt hat, dass man dabei Entwickelungen nach den Func 
tionen des elliptischen Cylinders zu benutzen hat. 
Was die Integration durch Reihen für Gebiete im Baume 
von drei Dimensionen betrifft, so ist sie bisher nur auf die 
Vollkugel und Kugelschale angewendet worden, ist übrigens 
aber auch für rechtwinklige Parallelepipeda leicht durchführ 
bar. Für die Vollkugel gestaltet sie sich, wie beim vollen 
Kreise, sehr einfach. Bezeichnet man nämlich mit S n eine 
allgemeine Kugelflächenfunction n ten Grades (im engeren 
Sinne), so ist, wie aus II, § 7 hervorgeht, die gesuchte 
Lösung der Gleichung Au -f- ~№u — 0 in Polarcoordinaten 
von der Form 
Sind nun die auf der Kugeloberfläche r — r gegebenen Werthe 
3ïô 
von ü bezw. 5— durch die Reihe nach Kugelflächenfunctionen 
f) n ö 
o 
dargestellt, so ergiebt sich durch Vergleichung der Coef- 
ficienten für die erste Randwerthaufgabe die Lösung 
*) JE. Mathieu, Memoire sur l’intégration des équations aux diff. 
part, de la phys. math., Liouv. Journ. (2) XVII p. 249—323. 1872.