336 Ueber die Gleichung: Au -f- 7c 2 u = 0.
Die Theorie des logarithmischen Potentials auf beliebigen
geschlossenen Flächen ist von F. Klein in physikalischer
Form entwickelt worden*), wodurch für functionentheoretische
Zwecke (AbeVsche Integrale), die uns hier nicht interessiren,
eine besonders anschauliche Grundlage gewonnen ist. — Die
Sache gliedert sich in ihren Hauptzügen so:
Die logarithmischen Potentiale auf krummen Flächen
lassen sich veranschaulichen durch die stationäre elektrische
Strömung, welche bei gegebenen Zuleitungs- resp. Ab
leitungsstellen in der leitend gedachten Fläche eintritt.
Aus dieser physikalischen Bedeutung folgt die Existenz
einer „Hauptfunction“ , welche in zwei Punkten
Pi, q x ; pi, qi unendlich gross wie log r x resp. — log r x wird,
eindeutig und, ausser in jenen zwei Punkten, überall endlich
und stetig ist, und an der Stelle p , q verschwindet; die
selbe besitzt die Eigenschaft, ihren Werth nicht zu ändern,
wenn man die Punkte p, g; p r , q mit p 1} qp, p x , q x ver
tauscht. Ein Grenzfall von ist die Function
pg.,PI
welche an der Stelle p x , q x einen Unstetigkeitspunkt
zweiter Ordnung (physikalisch zu deuten als Doppelquelle oder
magnetisches Molekül), der entstanden ist durch Zusammen
rücken der beiden einfachen Unstetigkeitspunkte p x , q x und
Pi, q x , besitzt. Wie man aus der Function H die Green'sehen
Functionen eines berandeten ebenen Flächenstückes ableiten
kann, indem man dasselbe als doppelt überdeckt und somit
als geschlossene Fläche betrachtet, haben wir schon in § 2
dieses Theiles gesehen. — Durch Aneinanderreihung von
Unstetigkeitspunkten zweiter Ordnung (magnetischen Mole
külen oder elektromotorischen Linienelementen) zu Linien
senkrecht zu den Axen der „magnetischen Moleküle“ gelangt
man zu Potentialen mit Wirbelpunkten, und auf mehrfach
zusammenhängenden Flächen, wo man derartige elektro-
*) F. Klein, Ueber Riemann’s Theorie der algebraischen Func
tionen und ihrer Integrale, eine Ergänzung der gewöhnlichen Darstel
lungen; Leipzig, 1882; ferner in dessen Vorlesung über Potentialtheorie,
II. Theil, Sommersemester 1888.
