Lösung der Randwerthaufgaben. § 7.
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motorische Linien als in sich zurücklaufend annehmen kann,
ohne durch dieselben die Fläche in getrennte Stücke zu zer
schneiden, zu überall endlichen, durch Periodicitätsmoduln
unendlich vieldeutigen Potentialen. —
Aehnliche Betrachtungen lassen sich nun über die Inte
grale der in krummlinige Coordinaten transformirten Differen
tialgleichung Au -\-k 2 u — 0 auf geschlossenen Flächen anstellen,
worauf ja schon am Schlüsse des III. Theiles hingewiesen
wurde. Hierzu ist jedoch Folgendes vorab zu bemerken:
Während ein logarithmisches Potential auf irgend einer
geschlossenen Fläche vermöge der conformen Abbildung ohne
Weiteres auch ein solches auf einer über der Ebene ausge
breiteten Riemann’schen Fläche liefert, würde man hier aus der
Lösung einer solchen Differentialgleichung, welche zufolge
I, § la, S. 9, die Form hat:
(89)
[ sy du -n du)
»\ a d P - F wA
+-I
' dq 1
\- F d AL + E d -^\
8p^ dq\
°p l Yeg — f* 1
1 Yeg — f 2 ]
+ q) VFG — F 2 ■ u = 0,
für eine geschlossene krumme Fläche vielmehr diejenige
einer anderen, in dem Factor f abweichenden Dfferential-
gleichung für die entsprechende Riemann’sche Fläche über der
Ebene erhalten, weil sich hei der conformen Abbildung der
Factor von u in der Differentialgleichung ändert (cf. I, § 4).
Physikalische Probleme, welche hier zur Deutung der
Functionen u herangezogen werden können, sind einerseits
bei positivem h 2 die Schwingungen in sich geschlossener sehr
dünner Luftschichten, andererseits bei negativem k 2 die statio
näre Wärmeströmung in einer gegen die Umgebung von der
Temperatur 0 frei ausstrahlenden geschlossenen Fläche; die oben
mit f(j>, q) bezeichnete Function ist in beiden Fällen überall
positiv. —
Was zunächst den zweiten Fall (mit negativem k 2 ) betrifft,
so gilt hier, wie in der Potentialtheorie, der Satz, dass eine auf
einer geschlossenen Fläche überall eindeutige, endliche und stetige
Lösung nothwendig eine Constante ist, jedoch mit dem wich-
Poekels, Bifferentialgleichung. 22
