Lösung der Randwerthaufgaben. § 7. 339 
die ganze, durch geeignete Schnitte einfach zusammenhängend 
gemachte Fläche erhalten. — Für die Kugelfläche vom 
Radius Eins sind im Falle h 2 = n(n 1) die Kugelflächen 
functionen zweiter Art von der n ten Ordnung, welche Heine 
(Handbuch der Kugelfunctionen) untersucht hat, Lösungen 
mit Unstetigkeitspunkten, die jenen Bedingungen genügen. 
Beispielsweise ist für den ausgezeichneten Werth h 2 = 2 
(wo also n — 1 ist) keine Lösung mit nur einem einfachen 
Unstetigkeitspunkte möglich, sondern es müssen mindestens 
zwei entgegengesetzte, in den Endpunkten eines Durchmessers 
liegende Unstetigkeitspunkte vorhanden sein, wie sie in diesem 
Falle die Kugelflächenfunction zweitre Art Q 0 besitzt. — 
Nach dem Vorstehenden ist auch klar ersichtlich, weshalb 
Avir in der gewöhnlichen Potentialtheorie eine Function H 
mit zwei Unstetigkeitspunkten einführen mussten; es liegt 
nämlich bei dem logarithmischen Potential auf geschlossenen 
Flächen immer der Fall vor, dass eine ausgezeichnete Lösung: 
V — Const. existirt. 
Wie wir schon am Schlüsse des III. Theiles bemerkten, 
werden an Stelle der unendlich vieldeutigen Functionen mit 
Periodicitätsmoduln, welche in der Potentialtheorie eine so 
wichtige Rolle spielen, bei unserer Differentialgleichung offen 
bar solche treten, welche sich bei einem vollen Umgänge 
um eine ausgezeichnete Lösung vermehren. Untersuchungen 
über diese Frage sind noch nicht vorhanden, wie überhaupt 
die Integration der Differentialgleichung Au -f- h 2 u = 0 für 
geschlossene Mannigfaltigkeiten noch kaum bearbeitet ist. 
Es würde sich ohne Zweifel in dieser Richtung der Forschung 
noch ein weites und aussichtsreiches Feld bieten.