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Ueber die Gleichung: Au -j- b 2 u = 0. 
Integration unserer Differentialgleichung für correspondirende 
Gebiete auf einander abwickelbarer Flächen genau die gleiche ist. 
§ 5. Vorkommen der Differentialgleichung Au -f- Idfu — 0 
in der Minimalflächentheorie. 
Ein mathematisches Problem, welches als Hülfsmittel ' 
die Integration einer speciellen Differentialgleichung von 
der Form Am -J- Jc 2 f. u — 0, nämlich derjenigen, in welcher 
h 2 f — i ist, erfordert, ist die Untersuchung der 
zweiten Variation des. Flächeninhalts von Minimalflächen 
stücken, ein Problem, welches von H. A. Schwarz in seiner 
Festschrift: „Ueber ein die Flächen kleinsten Flächeninhalts 
betreffendes Problem der Variationsrechnung“ (Helsingfors, 
1885) behandelt worden ist*). 
Daselbst wird gezeigt, dass ein Minimalflächenstück unter 
allen von derselben Randlinie begrenzten und ihm unendlich 
benachbarten Flächenstücken dann wirklich den kleinsten 
Flächeninhalt besitzt, wenn es möglich ist, auf beiden Seiten 
des gegebenen Flächenstückes eine dasselbe enthaltende Schaar 
von Minimalflächenstücken so zu construiren, dass der Ab 
stand je zweier unendlich benachbarter Flächenstücke der 
Schaar überall eine unendlich kleine Grösse derselben Ord 
nung ist, also insbesondere nirgends verschwindet. 
Man kann nun nach Schwarz zu einem gegebenen Mini 
malflächenstücke immer beiderseits eine Schaar benachbarter 
construiren, von denen je zwei unendlich benachbarte einen 
Abstand besitzen, welcher durch das Product einer unendlich 
kleinen Constante s und einer gewissen Function gegeben 
ist; für diese Function ^ ergiebt sich aus der Minimal 
flächentheorie die partielle Differentialgleichung: 
d 2 ip . d 2 ip . 8 ii> ^ 
V (1 + £* + ij 2 ) 2 ’ 
worin I, 7] die rechtwinkligen Coordinaten in der Ebene be 
zeichnen, auf welche das sphärische Bild des gegebenen Mini- 
*) Yergl. auch: „Gesammelte mathematische Abhandlungen von 
H. A. Schwarz“, Berlin, 1890. 1. Bd., p. 236—40.