Von den ausgezeichneten Lösungen. § 3. 
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eingesetzt; die hierdurch erhaltenen n Gleichungen 
(o n -J- fii 2 b n )(A u -f- Au) (^!2 "h [ l i 2 b 12 )(A2i “h A21) -f- • • • = 0 
g>i , b n f)(Au-\- Aif)-\- (a n 2-f- iii 2 b n 2)(A-2i -f- -42t) 0 
werden der Reihe nach mit (Au-\- Äii) .. . (A ni -f- Ä nt ) mul- 
tiplicirt und dann addirt. Hierdurch erhält man, wenn 
man setzt 
^fOitXiXk = (p(Xi...X n ), bjk XjX k = il> (x x .. . x n ), 
die Gleichung 
li^ip((Au -f- Au), ... (A n i -f" A„i)) 
<p ((A u -f- Au), .. . (A ni -f- Ani)') — 0. 
Da nun nach der Voraussetzung cp und ih für reelle Werthe 
der x t . . . x n sicher > 0 sind, und A u -f- A' u , . . . A ni + A' ni 
nothwendig reell, sein müssen, damit die Lösungen für q 1 ...q n 
reell sind, so folgt aus dieser Gleichung, dass gf negativ 
= — Xi, also alle rein imaginär sind. Demnach hat das 
vollständige Lösungssystem die Form 
q l =B 11 B n (—A x ) cos ]/X, (t—tf) -f f B ln D n (— A») cos|/A„(i — t n ), 
q 2 = B n D 12 (— A t ) cos Yx t (t— tf) -} 1- B ln D l2 (—X n ) cos ]/A„ (t — *„), 
tf« = B n D in (— A^cosl/Aj (t—¿0 + -- - + B ln JD ln (— ¿ n )cosl/X, (£ — 4). 
(Bei den willkürlichen Constanten 1? kann der erste Index 
fortgelassen werden.) 
Diese Formeln enthalten folgenden fundamentalen Satz: 
„Die allgemeinste (unendlich Meine) Bewegung eines sich selbst 
überlassenen mechanischen Systems von n Graden der Freiheit 
ist bei Abwesenheit von Beibungs- und ähnlichen Kräften eine 
Ueberlagerung von n einfachen harmonischen Schwingungen mit 
völlig bestimmten, nur von der Natur des Systems abhängigen 
Perioden, aber beliebigen Phasen und Amplituden.“ 
Wir haben diesen Satz zunächst nur unter der Voraus 
setzung lauter verschiedener Wurzeln der Gleichung I)(—X) = 0 
abgeleitet, er verliert seine Gültigkeit aber auch nicht im