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Ueber clie Gleichung: Au lAu 0.
transcendenten Gleichung angesehen werden, welche man
freilich erst mit Hüfe der Grenz- bezw. Stetigkeitsbedingnngen
aufstellen kann, nachdem eine geeignete Lösung der par
tiellen Differentialgleichung mit unbestimmtem A gefunden
ist. — Dass alle Wurzeln A positiv sind, kann man, den
früheren Entwickelungen entsprechend, nur dann behaupten,
wenn nicht nur, wie immer vorausgesetzt wird, Ä, S, A" etc.
und Ä", sondern auch a ausschliesslich positive Werthe an
nimmt. (Siehe auch S. 59 unten.) — Es lässt sich auch nicht
allgemein schliessen, dass die ausgezeichneten Werthe discrete
Werthe sind, d. h. in Intervallen auf einander folgen; in der
That werden wir Ausnahmefälle kennen lernen, wo sie eine
continuirliche Leihe bilden, und wo also innerhalb gewisser
Grenzen alle Werthe für A statthaft sind.
Wir haben uns nun mit den Lösungen u t , u 2 , ... u n . . .
der partiellen Differentialgleichung für u zu beschäftigen,
welche zu den ausgezeichneten Werthen A 1; A 2 . . . A re . gehören,
und welche wir ausgezeichnete Lösungen oder, wenn über den
in ihnen enthaltenen willkürlichen constanten Factor in be
stimmter, sogleich näher anzugebender Weise verfügt wor
den ist, Normalfunctionen des betrachteten Bereiches nennen.
Jede derselben geht beim Grenzübergang aus einem solchen
Werthsystem der Grössen q t . . . q n hervor, welches man aus
den n linearen Gleichungen S. 45 durch Einsetzen einer speci-
ellen Wurzel A* erhält. Dieses zu A t - gehörige Werthsystem
ist aber nach dem S. 43 u. 46 Gesagten bis auf einen gemein
samen Factor identisch mit den Coefficienten ß ii} ßzi,... ß n i der
Substitution, durch welche die „Normalcoordinaten“ r l . . . r n
eingeführt wurden. Vielleicht ist es nützlich, besonders her
vorzuheben, dass hiernach die ausgezeichneten Lösungen oder
Normalfunctionen u- t in keiner Weise mit den Normalcoordi-
naten verwechselt werden dürfen. Die letzteren sind auch
jetzt nichts anderes, als willkürliche Constanten, bezw. Pro
ducte aus solchen in cos Y^i(t—f) oder e~ x d.
in dem einfachen Falle, wo B = 0, A' — A" ist und Ä und A'” Con
stanten sind, den Werth J \r hat.
