Von den ausgezeichneten Lösungen. § 4. 
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Coefficienten einer orthogonalen Substitution die Normalfunc 
tionen, welche diese Eigenschaften besitzen, als zu einander 
orthogonal bezeichnen, und diese Benennung soll im Folgen 
den angewandt werden, da das Wort conjugirt schon zu viel 
in anderen Bedeutungen gebraucht wird. 
Aus dem für den Fall eines endlichen n abgeleiteten 
Resultate folgern wir, dass, wenn X h eine mehrfache (r-fache) 
Wurzel ist, die zugehörigen Normalfunctionen sich linear durch 
v solche ausdrücken lassen, welche auf ^ -fach unendlich 
viele Weisen so gewählt werden können, dass je zwei von ihnen 
zu einander orthogonal sind. Bei einigen später zu besprechen 
den Beispielen wird sich dieser wichtige Satz bestätigen. — 
Die Orthogonalitätseigenschaft haben Poisson und Andere 
nach ihm benutzt, um zu beweisen, dass die transcendente 
Gleichung für X nur reelle Wurzeln haben kann. Gäbe es 
nämlich zwei conjugirt complexe Wurzeln k h , l k , so wären 
auch die zugehörigen Normalfunctionen u h , u k conjugirt 
complex, mithin jedes Element des Integrals JJ*A"'u h u k df 
positiv, was im Widerspruch stände zur Orthogonalitäts 
bedingung /» 
IJ Ä" u h u k clf — 0. 
Setzt man in der Gleichung 
J J (4f + 4f) d f = J ( Xcos ( nx ) + Ecos (ny))ds, 
zweitens 
so erhält man: 
(i6) 
// 
A' 
dx) dx dy \dy ) ) f 
+ J auf ds = h h J J A"'ufdf. 
Aus dieser Gleichung sieht man zunächst, dass alle ausge 
zeichneten Werthe von l positiv sind, falls a längs der ganzen