faches der tiefsten Fundamentalschwingungsdauer ist, gebil 
deten Mittelwerthe von T und V einander gleich sind. 
Setzt man die Zeit t constant, z. B. =0, so ergiebt 
sich die vollständige Lösung für q bei der mehrfach er 
wähnten Grenzbedingung in der Form: 
Da nun diese unendliche Reihe den Anfangszustand von 
q darstellt, so schliessen wir aus dem Olim’sehen Princip 
(S. 4), vorbehältlich näherer mathematischer Untersuchung, 
dass sie eine willkürlich gegebene Function u darzustellen 
vermag. Somit gelangen wir zu dem Satz: „Jedes für einen 
gegebenen Bereich geltende vollständige System von Normal 
functionen liefert eine Beihendarstellung einer für das Innere 
dieses Bereiches willkürlich gegebenen Function; dabei kann man 
eine beliebige partielle Differentialgleichung und eine beliebige 
Grenzbedingung der von uns betrachteten Art zu Grunde legen,“ 
Auf dem Bande können keine willkürlich vorgeschrie 
benen Werthe mehr dargestellt werden, da alle Glieder der 
Reihe einer und derselben Gleichung hü -j- ~ — 0 genügen. 
Die Bestimmung der Coeffcienten in der unendlichen Reihe (20) 
wird durch die Orthogonalitäts-Eigenschaft der Normalfunc 
tionen ermöglicht; es ergiebt sich nämlich mit Rücksicht 
auf (12a) und (12c), wenn man beide Seiten von (20) mit 
A"'u h df multiplicirt und über das gegebene Gebiet integrirt: 
(21) 
A h =j*J A"'uu h df, 
welche Formel hier der inversen Substitution (S. 47) ent 
spricht. Dieselbe Coefficientenbestimmung ergiebt sich, wie 
für die Fourier’sche Reihe hinlänglich bekannt ist, wenn man 
u durch eine Summe 2 A h Uh von einer endlichen, beliebig 
grossen Gliederzahl möglichst genau darstellen will und die 
A u nach der Methode der kleinsten Quadrate berechnet (vergl. 
z. B. die mehrfach erwähnte Arbeit von Poincare, § 3).