Von den ausgezeichneten Lösungen. § 6. 
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2 w = 0. 
5* 
lachen (Knotenlinien 
n liegen dürfen; es 
u^. Speciell darf 
mkt von zwei Knoten- 
3 von zwei Knoten 
ormalfunctionen an 
unkte gegeben sind, 
ch daraus im Allge- 
berechnen, wodurch 
", insbesondere also 
dien bekannt ist. 
ste Punkte im All- 
nien bezw. Knoten- 
ösung hindurchgeht, 
¡zeichnete Lösungen 
reiches geht eine und 
durch; ausgenommen 
mdene Funkte, durch 
en hindurchgehen. 
sich stetig ändern, 
schwingenden Mem- 
i, da u v und u 2 mit 
sicher Periode, aber 
innen, — so drehen 
eben erwähnten be- 
Punkte, wobei der 
mkt gehenden Kno 
tenpunkte aber der 
1 des Quadrats in 
3e Membran bietet 
Analogie mit fort- 
^erhältnisse werden 
und Kreis kennen 
B. 
Lösbare Specialfälle. 
§ 6. Fälle, in welchen die Normalfunctionen trigonometrische 
Functionen sind. 
Nachdem im Vorhergehenden die wichtigsten allgemein 
angebbaren Eigenschaften der Normalfunctionen ausführlich 
besprochen worden sind, soll nun in den Paragraphen 6 — 9 
ein Bericht über diejenigen Fälle gegeben werden, in wel 
chen man bisher die Normalfunctionen resp. ausgezeichneten 
Lösungen wirklich hergestellt hat. Es handelt sich dabei aus 
schliesslich um ausgezeichnete Lösungen der einfachen Diffe 
rentialgleichung Au -j- №u — 0 und solcher Gleichungen, 
welche durch Einführung anderer orthogonaler Coordinateli 
aus derselben hervorgehen ; ferner wird die Grösse h der 
Grenzbedingung hü -f- = 0 immer als auf der ganzen Be 
grenzung oder auf Theilen derselben Constant vorausgesetzt. 
a. Eindimensionale Gebiete. Sturm!sehe Sätze. 
Bevor wir mit dieser Besprechung der Lösungen für 
specielle zwei- und dreidimensionale Gebiete beginnen, mögen 
hier diejenigen Untersuchungen in Erinnerung gebracht wer 
den, welche sich auf eindimensionale Gebiete, also auf die 
Integrale einer gewöhnlichen linearen Differentialgleichung 
zweiter Ordnung für ein gegebenes Intervall der unabhän 
gigen Variabein beziehen; denn die Kenntniss der Eigen 
schaften dieser Integrale ist für die folgenden Abschnitte 
sehr nützlich, zum Theil sogar nothwendig. Es handelt sich 
hier um die fundamentalen Arbeiten von Sturm und Liou- 
ville*). Sturm ist auf diese Untersuchung offenbar durch das 
Problem der Wärmeleitung in einem Stabe geführt worden, 
wie ja in Frankreich überhaupt seit Fourier’s Zeit mit Vor 
liebe Wärmeleitungsprobleme behandelt worden sind. 
*) Liouville’s Journal I, 1836, p. 106—186, 253—65, 269-77, 
375—444.