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Von den ausgezeichneten Lösungen. § 6. 
Zeichenwechsel auftreten können, und daraus folgt, dass je 
der Ausdruck A m u m + • • • -f- A n u n nicht weniger als m — 1 
und nicht mehr als n — 1 Zeichenwechsel haben kann. 
Ohne Hineinziehung der Zeit ist der Satz später von 
Sturm*) selbst, sowie schon vorher von Liouville**) be 
wiesen worden; letzterer hat auf denselben seinen, vom 
Standpunkte der modernen Functionentheorie allerdings noch 
nicht befriedigenden, Beweis für die Entwickelbarkeit einer will- 
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Tiürlichen Function von x in eine Reihe ^ A h u h nach den oben 
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betrachteten Functionen u h gegründet. Den Liouville’schen Be 
weis für den Satz 7) hat Rayleigh***) etwas ab geändert und 
vereinfacht. Sturm hat, wie aus einer Notiz in Ferussac’s 
Bulletin XI, p. 424—425 hervorzugehen scheint, ursprüng 
lich die Absicht gehabt, ein dem Satze 7) analoges Theorem 
für räumliche Gebiete zu finden; es scheint ihm dies aber 
nicht gelungen zu sein, da er sich später immer auf den Fall 
einer unabhängigen Variabein beschränkt hat. 
Um den Satz 6) nach der Sturm’schen Methode zu 
beweisen, ist die Voraussetzung wesentlich, dass die Func 
tion % im ganzen Intervalle x 0 . . . x x positiv sei. Man kann 
sich aber auf geometrischem Wege leicht veranschaulichen, 
dass er auch noch gelten muss, wenn nur in einem kleinen 
Theile des Gebietes a x noch positive Werthe hat. Man bringe 
zunächst die Differentialgleichung (23) auf die Form 
(23 ) jp -j- (a x 'k 2 -f- a )u = 0 , 
indem man die durch die Gleichung 
definirte neue Variabele | einführt und a n a 1 — a X} a n a = a 
setzt. Da a n nach der Voraussetzung überall endlich, stetig 
*) Liouville’s Journal I, p. 436 ff. 
**) Liouville’s Journal 1, p. 269 ff. 
***) Theorie des Schalles 1. Theil, p. 236—38.