74 Ueber die Gleichung: Au tc 2 u = 0. 
an beiden Grenzen dieselben Werthe haben sollen, mit an 
deren Worten, dass u(oc) die Periode l besitzen soll. Diese 
bereits S. 37 erwähnte Bedingung der Periodicität tritt bei 
solchen physikalischen Problemen auf, wo die Differential 
gleichung für ein in sich geschlossenes Gebiet zu integriren 
ist; im vorliegenden Fall dient daher als Beispiel am besten 
eine sehr dünne, in sich zurückkehrende Luftsäule. Es ist 
klar, dass bei dieser Grenzbedingung sowohl cos n ™ X als 
sin 2n -™ x zu h%±\ — (-y~) gehörige Normalfunctionen sind, 
da sie die verlangte Periodicität besitzen und auch der For 
derung genügen, zu einander orthogonal zu sein. Hieraus 
ergiebt sich nun, dass jedes h 2 mit alleiniger Ausnahme von 
hf 2 ein zweifacher ausgezeichneter Wertli ist. Erwähnenswertli 
ist noch, dass für irgend zwei verschiedene, zu demselben k 2 
gehörige ausgezeichnete Lösungen eines solchen Gebietes aus 
dem zweiten der oben angeführten Stürmischen Sätze folgt, 
dass ihre Wurzeln sich gegenseitig separiren. 
Ist die Saite oder Luftsäule nach einer oder nach beiden 
Richtungen hin unbegrenzt, so bilden die ausgezeichneten 
Werthe von h 2 eine stetige Mannigfaltigkeit, und man gelangt 
zu den Fourier’sehen Integraldarstellungen. In der That er 
kennt man leicht, dass die aufeinander folgenden ausgezeich 
neten Werthe von Je 2 sich um so weniger unterscheiden, je 
grösser l wird, und dass ihr Unterschied wie unendlich 
klein wird bei unbegrenzt wachsendem l. Aehnlieh wird man 
sich bei den späteren Beispielen (Rechteck, Kreis, Kugel etc.) 
davon überzeugen, dass für unendlich grosse Dimensionen 
die Reihe der ausgezeichneten Werthe k 2 eine stetige wird. — 
Oben wurden nur die speciellen Grenzbedingungen w = 0 
und = 0 oder, was hier dasselbe ist, ~ = 0 betrachtet. 
dn 7 ’ ax 
Sind die allgemeineren Bedingungen 
h 0 ü — du __ q für ß _ o, h t ü -f- ^ = 0 für x — l 
(l X Ci oc 
vorgeschrieben, so sind die Normalfunctionen zwar auch noch 
trigonometrische Functionen: