Yon den ausgezeichneten Lösungen. § 6. 
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u n = sin [k n {x — xff\, 
da das allgemeine Integral der Differentialgleichung ja eine 
solche Form hat; aber die ausgezeichneten Werthe le n bilden 
jetzt nicht mehr eine arithmetische Reihe, sondern sind die 
Wurzeln einer complicirteren transcendenten Gleichung, welche 
folgendermassen lautet: 
(24) 
Jc_ 
K 
h 0 tg Je l — Je ' 
h 0 -f- Je tg Jel ’ 
die Constante x n bestimmt sich aus: 
(25) tg x n h n = \ • 
Man erhält jetzt also auf Grund der Schluss weise auf S. 63 
ebenfalls eine trigonometrische Reihe, aber die Argumente der 
einzelnen Glieder sind nicht mehr ganzzahlige Vielfache des 
ersten dieser Argumente. Das bekannteste physikalische Pro 
blem, dessen Lösung durch solche Reihen geliefert wird, ist 
das vielfach behandelte des Wärmeausgleiches in einem Stabe, 
dessen Endflächen in die Umgebung Wärme ausstrahlen, 
während die übrige Oberfläche vor Wärmeabgabe geschützt 
ist. — Ist h 0 = h l — h, so vereinfachen sich die Gleichungen 
(24) und (25) zu 
(24') | = 
(250 
Je n l — mit 
Darin bedeutet m irgend eine ganze Zahl; es genügt aber, 
ihr die Werthe 0 und 1 beizulegen, d. h. sämmtliche Wurzeln h 
zerfallen in zwei Gruppen, von denen die eine durch 
Y = tg y, die andere durch ~ = — cotg y gegeben ist*). 
*) In dem anderen speciellen Fall, dass ti 0 = oo, d. h. u = 0 ist 
für x = 0, sind alle Werthe von Tt durch die tianscendente Gleichung 
Je = h, tg Ici gegeben, welche auch bei der Integration unserer Diffe 
rentialgleichung für die Kugel auftreten kann (cf. § 7 c) und gelegent 
lich des letzteren Problems von Riemann (Partielle Differentialglei 
chungen, §§ 65 u. 66) ausführlich discutirt worden ist. Auch hat für 
diesen Fall Fudzisawa (Dissertation, Strassburg 1886) nach Christoffel 
die Entwickelbarkeit einer willkürlichen Function in die oben erwähnte 
trigonometrische Reihe streng bewiessn.