Yon den ausgezeichneten Lösungen. § 6. 
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gegeben, wie es bei den Schwingungen einer in einen starren 
Rahmen gespannten Membran der Fall ist, so hat man 
. mnx . nny 
U m , n = sin < sm -g-, 
7.2 7/ 2 I V 2 -Ji ('^ I . 
Man sieht sofort, dass die Knotenlinien, d. h. die Linien, auf 
welchen u verschwindet, im Allgemeinen nur Parallele m den 
Seiten des Rechtecks sein werden, welche das ganze Rechteck 
in m . n congruente kleinere theilen. Nur wenn k 2 ein mehr 
facher ausgezeichneter Werth ist, können andere Knotenlinien 
Vorkommen, und dieser Fall ist nur möglich, wenn das Ver- 
hältniss a 2 :b 2 rational ist, weil sich nur dann eine und die- 
selbe Zahl -= auf mehrere Weisen in der Form —s 4- ^ (mit 
jr 2 ar 1 fe 2 v 
ganzzahligen Werthen von m } n) darstellen lässt. Der ein 
fachste hierher gehörige Fall ist derjenige des Quadrates, 
und es ist, trotzdem derselbe schon vielfach behandelt worden 
ist (z.B. in Riemann’s Vorlesungen über partielle Differential 
gleichungen), wohl berechtigt, denselben eingehend zu be 
sprechen, weil er das beste Beispiel für mehrfache ausgezeich 
nete Werthe von k 2 bietet. — Die Normalfunctionen sind hier: 
. mnx . nny 
u m ,n = sm —— sm —f , 
(l CI 
und die zugehörigen Werthe von k 2 : 
km,n = (^) 2 (m 2 + n 2 ). 
Einfache ausgezeichnete Werthe sind nur diejenigen, für 
welche m — n ist, und zu welchen Normalfunctionen u m , m ge 
hören, deren Knotenlinien das gegebene Quadrat in m 2 
congruente Quadrate zerlegen; die diesen Schwingungsarten 
entsprechenden Töne sind die harmonischen Obertöne des 
Grundtones der Membran, welchen man für m = n — 1 er 
hält, da er der Schwingung ohne Knotenlinien entspricht. 
Sobald m'f'n ist, ist k\ n ein mindestens zweifacher aus 
gezeichneter Werth; denn es gehören zu ihm dann die bei 
den verschiedenen Normalfunctionen