78 Ueber die Gleichung: Au -f- k*u = 0. 
. m n x . nmi 
u,„ n = sin sm —- 
a a 
und 
. nnx . mity 
u n ,m = sm sm --- , 
aus welchen sich eine allgemeinere ausgezeichnete Lösung linear 
mit willkürlichen Coefficienten zusammensetzt. Die vorstehen 
den Functionen u m ,„, u n>m sind dabei unter der einfach unend 
lichen Mannigfaltigkeit dieser ausgezeichneten Lösungen richtig, 
d. h. der Orthogonalitätsbedingung entsprechend ausge 
wählt, da 
a a 
. mnx . mtx . mnu . mtu n 7 ,, 
sin —— sm sm —- sm —- dxdu — 0 
a a a a J 
ist. Die Knotenlinien von u m , n sind m Parallele zur X-Axe 
und n Parallele zur X-Axe, diejenigen von u n , m w Parallele 
zur X- und m zur Y-Axe. Zwischen diesen beiden Knoten 
liniensystemen giebt es unendlich viele Uebergangsformen, 
deren Gleichung ist 
und welche sämmtlich durch die Schnittpunkte der Liniensysteme 
u m , n = 0? u n,m — 0, also durch (m — l) 2 -f- (n — l) 2 feste 
Punkte, hindurchgehen. Aus der linken Seite der vorstehen 
den Gleichung kann man den Factor sin — sin — 1 abson- 
dern; in der That muss ja die Begrenzung des gegebenen 
Quadrates stets dem System der Knotenlinien angehören. 
Mit Hülfe der soeben erwähnten allen Knotenlinien gemein 
samen Punkte und des im III. Theile zu beweisenden Satzes, 
dass sich zwei zu demselben u gehörige Knotenlinien stets 
senkrecht, oder allgemein, wenn noch mehr Knotenlinien durch 
den Schnittpunkt hindurchgehen, unter gleichen Winkeln schnei 
den, ist es leicht, sich eine Vorstellung von der Art des 
Ueberganges von dem einen der Curvensysteme u m , n — 0 und 
u n , m — 0 zum anderen zu machen, wenigstens wenn die Zahlen 
m und n klein sind. In den Figuren 1 — 4 a, b, ... h, 
S. 80 sind die ausgezeichneten Knotenliniensysteme und eine 
Reihe von Uebergangsformen für die tiefsten Töne einer 
quadratischen homogenen Membran von constanter Spannung 
bis zum : 
nähernd d 
durch die 
mal beige 
dargestell' 
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Die a 
und u m ,n I 
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gleichunge 
die drei e 
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*) Vei 
§ 95.