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Von den ausgezeichneten Lösungen. § 6. 79 
nnx . Wllty 
a a ’ 
bis zum zweiten harmonischen Oberton des Grundtones an 
nähernd dargestellt; die Schwingungszahlen N m>n , ausgedrückt 
ite Lösung linear 
Die vorstehen- 
r einfach unend- 
iösungen richtig, 
rechend ausge- 
durch die Schwingungszahl N u des Grundtones, sind jedes 
mal beigefügt, ebenso die Function, welche auf den jeweils 
dargestellten Linien verschwindet. Die Zeichnungen für n n , 
u 22 , %3 selbst sind als selbstverständlich fortgelassen. 
Die ausgezeichneten Knotenlinien, d. h. die durch u m , n = 0 
und u m , n + u nj m = 0 gegebenen, finden sich für die beiden 
xdy = 0 
ersten Fälle in Biemann-Hattendorf’s „partiellen Differential 
gleichungen“ und Lord Bayleigh’s „Theorie des Schalles“, für 
die drei ersten in Lamé’s „Leçons sur la théorie mathéma- 
leie zur X-Axe 
u n ,m w Parallele 
beiden Knoten- 
ebergangsformen, 
tique de l’élasticité des corps solides“ dargestellt, doch fehlt 
dort überall die Andeutung der Uebergänge zwischen jenen 
ausgezeichneten Typen. 
In Betreff des Grundtones der quadratischen Membran 
sei hier noch der leicht zu beweisende Satz erwähnt, dass 
mny _ 
“ = 
a 7 
derselbe tiefer ist, als der Grundton jeder anderen homogenen 
rechteckigen Membran von derselben Spannung und demselben 
'er Liniensysteme 
- (n — l) 2 feste 
der vorstehen- 
X . 1t y , 
- sin — abson- 
i a 
des gegebenen 
den angehören, 
nlinien gemein 
fisenden Satzes, 
otenlinien stets 
ffenlinien durch 
Winkeln schnei- 
n der Art des 
ie u„ hn = 0 und 
Yenn die Zahlen 
4 a, b, . . . h, 
steme und eine 
en Töne einer 
anter Spannung 
Gewicht oder demselben Flächeninhalt. 
Ausser den bisher besprochenen zweifachen ausgezeich 
neten Werthen giebt es beim Quadrate aber auch vierfache 
und höhere, da es ganze Zahlen giebt, die sich auf mehrere 
Weisen als Summe der Quadrate von zwei ganzen Zahlen 
darstellen lassen. Um die zahlentheoretische Frage zu ent 
scheiden, wann dies für eine ganze Zahl r — m 2 -|- n 2 mög 
lich ist, zerlege man r zunächst in seine reellen Primfactoren*) : 
r = pF 1 -pF* • • • di y ' y • <?2 2 • • ■> 
wo 7t 1 , ... x 1; % 2 . . . irgend welche positive ganze Zahlen 
und p 1} p 2 . . . die Primfactoren von der Form 4v -j- 1, q v 
q 2 . . . diejenigen von der Form 4v -f- 3 (v — 0, 1, 2. . .) sind, 
welche letzteren in einer Zahl von der Form m 2 + n 2 nur 
in geraden Potenzen Vorkommen können. Die ersteren zer 
lege man nun in ihre complexen Primfactoren: 
Pi = (°h + /M)Oi - M, 02 + /V)0 2 — • • • 
*) Yergl. Biemann-Hattendorf’s partielle Differentialgleichungen, 
§ 95.