§ 1. Von der geraden Linie. 
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zeigt, wie ihr Inhalt bedingt ist durch andere Sätze; die beim Be 
weise benutzten Sätze müssen jedesmal vorangehen. Wir stellen 
nun die Sätze, welche bewiesen werden, als Lehrsätze (Theo 
reme) den andern gegenüber, die wir als Grundsätze bezeich 
nen. Die Lehrsätze werden aus den Grundsätzen deducirt, so dass 
Alles, was zur Begründung der Lehrsätze gehört, ohne 
Ausnahme sich in den Grundsätzen niedergelegt finden 
muss. 
Die primitivsten Beobachtungen über die geraden Strecken und 
ihre Punkte liefern eine Reihe von Beziehungen; ein Theil der 
letzteren bildet den Inhalt der Grundsätze in diesem Paragraphen. 
Wie auch die Punkte A und B angenommen werden (in den am 
Ende dieses Paragraphen näher zu erörternden Grenzen), immer 
kann man A mit B durch eine gerade Strecke verbinden; aber 
man kann dies nicht auf mehrere Arten leisten. Innerhalb der 
# # Strecke kann ein Punkt C angenommen wer- 
A C B den. Man kann von A nach C eine gerade 
Strecke ziehen; diese geht nicht durch B; aber mit allen ihren 
Punkten fällt sie in die vorige Strecke. Wenn man also A mit C 
und C mit B verbindet, so begegnet man keinem Punkte, der nicht 
schon in der ersten Strecke anzutreffen war; aber die Punkte der 
ersten Strecke werden auch ihrerseits durch jene beiden Strecken 
erschöpft. Die Grundsätze I.—V. geben diese Bemerkungen wieder. 
I. Grundsatz. — Zwischen zwei Punkten kann man stets 
eine gerade Strecke ziehen, und zwar nur eine. 
Demnach reicht die Angabe der Endpunkte zur Bezeichnung 
der Strecke hin. Die Strecke von A nach B wird mit AB oder 
BA bezeichnet. 
II. Grundsatz. — Man kann stets einen Punkt angeben, der 
innerhalb einer gegebenen geraden Strecke liegt. 
III. Gr undsatz. — Liegt der Punkt C innerhalb der Strecke 
AB, so liegt der Punkt A ausserhalb der Strecke BC. 
Ebenso liegt der Punkt B ausserhalb der Strecke AC. 
IT. Grundsatz. — Liegt der Punkt C innerhalb der Strecke 
AB, so sind alle Punkte der Strecke AC zugleich Punkte der 
Strecke AB. 
Oder: Liegt der Punkt C innerhalb der Strecke AB, der Punkt 
B innerhalb der Strecke AC oder BC, so liegt D auch innerhalb 
der Strecke AB. 
Y. Grundsatz. — Liegt der Punkt G innerhalb der Strecke 
AB, so kann ein Punkt, der keiner der Strecken AC und BC 
angehört, nicht zur Strecke AB gehören.