18. Spirale logaritmica. — Chiamasi con questo nome la curva 
la cui equazione è r = Ge a a, ove C ed a sono due costanti, ed e è 
la base dei logaritmi naturali. 
Se a — 0, si deduce r = C, ossia la spirale logaritmica è in questo 
caso un cerchio. 
Se a non è nullo, variando C si hanno infinite spirali, che però 
non sono che posizioni distinte d’una stessa curva. Invero, se si 
prende per nuovo asse polare una retta passante per lo stesso polo, 
ma che faccia l’angolo uu coll’antico asse polare, di un punto qua 
lunque del piano non si altera il raggio vettore, mentrechè, chia 
mando a' il nuovo argomento, si avrà a' = a — uu. Quindi l’equazione 
della curva diventa r = Ce a ( a '+ w ) = Ge aUj e a &', che ha la stessa 
forma della primitiva, salvochè invece della costante C trovasi Ge alu , 
e prendendo convenientemente uu si può fare in modo che essa assuma 
il valore che più ci piace. 
Quindi, senza ledere la generalità della curva, si può supporre 
C = 1, e la sua equazione ridotta alla forma r = e a a. 
Una proprietà notevole di questa d 
curva è la seguente. Se OA, OB e OC, 
OD sono due coppie di raggi vettori 
che vanno ai punti ABCD della curva, 
ed esse sono egualmente inclinate fra 
loro, ossia se l’angolo AOB è eguale 
all’angolo COD, allora i triangoli OAB 
ed OCD sono simili. Invero, detti a, p, y, & gli argomenti di questi 
raggi vettori, sarà in valor assoluto 
OB 
OA 
= e«(3 —<*) 
OD 
OC 
e a(b—y) - 
e siccome p — a = ò — y, perchè le coppie di raggi vettori sono 
egualmente inclinate fra loro, si ha ^5. = 2^ ? e quindi i triangoli 
OAB e OCD, che hanno gli angoli in O eguali e i lati che li com 
prendono proporzionali, sono simili. 
Perciò, se della spirale si conoscono il polo 0 e due punti A e B, 
se si costruiscono i triangoli OBC, OCD,.... simili ad OAB, si hanno