Peai 
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lim P ± Q = P 0 U, lim P^ = P 0 V, e quindi il piano P 4 P 2 P 3 che passa 
pei punti PiQS aventi per limiti P 0 U e V ha per limite il piano 
P 0 UV, c. v. d. 
Ovvero : 
Sia in un’area contenuta nel piano PJ^Pg (p- e. l’area del tri 
angolo P^Pg), e si consideri il volume 
V(i) = PjP.in , 
ove P è un punto della curva. Questo volume è funzione di t, ed 
ha derivate prima e seconda 
Y(t) = u.in , e Y'(t) = v.w. 
P pi 
que: 
all’c 
cide 
nè c 
lato 
zion 
Inf 
deriv 
ment: 
Ora il volume V(Q si annulla pei valori t i t 2 t 3 di t, perchè per ove i 
questi valori di t il punto P coincide rispettivamente con PJ^Pg, j e jp ( 
e giace nel piano in. Quindi, se < i, < t 3 , pel teorema di Rolle, nume 
la derivata di Y(t) si annullerà per un valore di t medio fra t l e 
i 2 , e per un secondo valore medio fra t 2 e t 3 ; ma se Y'(0 — u.in 
è nullo, sarà u parallelo al piano in; perciò il piano PiP 2 P 3 è ove z 
parallelo alle derivate di due punti dell’arco P^Pg, e quindi nel p: 
anche alle tangenti alla curva in questi punti. Inoltre, poiché Y'(Q punto 
si annulla per due valori di t, la sua derivata Y'(t) si annullerà punto 
per un valore intermedio, ossia il piano in è parallelo alla derivata limite 
seconda d’un punto dell’arco considerato. Si ( 
Si passi al limite. I punti P^Pg, e tutti i punti di quest’arco P son 
hanno per limite il punto P 0 ; le derivate prime e seconde di questi sia ar 
punti hanno per limiti le derivate prima e seconda di P 0 ; e il piano 
PJPjPg, parallelo a due derivate prime, e [ad una derivata seconda 3. f 
ha per limite il piano passante per P 0 , e che contiene le direzioni la lin 
delle due derivate prima e seconda. arco i 
Si vede da questa dimostrazione che, sotto le condizioni enunciate, tutto 
il piano [osculatore è ancora il limite del piano passante per P 0 , Diri 
e parallelo alle tangenti alla curva in due punti che si avvicinano archi 
a P 0 . Parte 
In i 
Teorema III. — Se delle derivate successive del punto