P 3 che passa 
nite il piano 
’area del tri- 
done di t, ed 
t, perchè per 
3 con P t P 2 P3» 
ema di Rolle, 
nedio fra t v e 
se V'(£) — n.u) 
ano PiP 2 P 3 è 
P 3 , e quindi 
3, poiché V\t) 
) si annullerà 
a alla derivata 
di quest’arco 
onde di questi 
P 0 ; e il piano 
ùvata seconda 
ìe le direzioni 
ioni enunciate, 
ssante per P 0 , 
si avvicinano 
e del punto 
P per t = t 0 , alcune sono nulle, e la prima non nulla è 
quella d’ordine p, u p ; e se alcune derivate susseguenti 
all’ordine p sono nulle, ovvero la loro direzione coin 
cide colla direzione di u p , eia prima di queste, nè nulla, 
nè coincidente in direzione con % è la u 2 , il piano oscu 
latore alla curva in P 0 è il piano che contiene le dire 
zioni delle derivate d’ordine^ e d’ordine q. 
Infatti, se le derivate d’ordine 1, 2, ... p — 1 sono nulle, e se le 
derivate d’ordine p 1, ... q — 1, sono o nulle o parallele ad n p , 
mentrechè tale non è la u 2 , dalla formula di Taylor si ha 
_^P ¿P+1 M-i . hi. | 
P ° P (p + 1)/ U P + 1 + ••• + Iq — l)! - 1 + q! ( u i + e) 
ove i è un segmento che ha per limite zero. Osservando che, per 
le ipotesi fatte, Up+i, ...u 2 _i sono eguali ad u p moltiplicati per 
numeri, si deduce 
P 0 P = mup + n{u q + è) 
ove m ed n sono numeri. Quindi il segmento %-f-e è contenuto 
nel piano che passa per P 0 , per la tangente P 0 Up alla-curva, e pel 
punto P. Sia P 0 Q = % + e, e P 0 U 2 = u 2 . Sarà lim P^Q = P¡IJ 3 ed il 
punto Q ha per limite U s , e il piano P 0 U p P ossia P 0 U p Q ha per 
limite il piano PoU^U^, c. v. d. 
Si osservi però che, se alcune delle derivate successive del punto 
P sono nulle, non è più vero in generale che il piano osculatore 
sia ancora il limite del piano passante per tre punti della curva. 
3. Sia lo spazio diviso in due parti da una superficie. Diremo che 
la linea AB tocca la superficie nel loro punto comune P se un 
arco AB della linea, contenente nel suo interno il punto P, giace 
tutto da una stessa parte della linea. 
Diremo invece che la linea AB taglia la superficie in P, se due 
archi PA e PB aventi l’estremo comune P giacciono l’uno da una 
parte e l’altro dall’altra della superficie. 
In modo analogo a quanto si è fatto per le curve piane, si può 
Peano, Geom. infin. 7