Teorema. Se il punto P è funzione di t avente derivata
prima u non nulla per t—t 0 , la linea luogo dei punti P
taglia tutti i piani passanti per P 0 , e non per la tangente.
Se inoltre Plia derivata seconda v non nulla, nè coinci
dente colla derivata prima, la linea tocca tutti i piani
passanti per la tangente, e distinti dal piano osculatore.
Se infine P ha derivata terza w non nulla, nè giacente
nel piano osculatore, la linea taglia il piano osculatore.
Invero, sia P 0 AB un piano passante per P 0 . Si consideri il volume
Y(i) = P 0 P.P 0 A.P 0 B, il quale è funzione di t, che si annulla per
t = t 0 . La sua derivata prima è Y r (t) = u.P 0 A.P 0 B; e se il piano
P 0 AB non contiene la tangente, sarà Y f (t) diverso da zero; e quindi
Y{t) crescente o decrescente; e, siccome si annulla per t = t 0 , esso
passa dal negativo al positivo, o viceversa, ossia il punto P passa
da una parte all’altra del piano.
Se invece il piano contiene u, sarà V'(i) = u.P 0 A.P 0 B = 0, e
Y"(t) = v.P 0 A.P 0 B; e se il piano non contiene v, ossia è diverso dal
piano osculatore, sarà Y"(t) diverso da zero; quindi V(£) avrà il
segno di Y"(t), ed il segmento P 0 P è rivolto verso la stessa regione
dello spazio verso cui è rivolto v.
Se infine il piano coincide col piano osculatore, sarà Y"(i) = 0,
e Y'"(0 = w.P 0 A.P 0 B; quindi, se la derivata terza di P, cioè w, non
giace nel piano osculatore, sarà Y"'(t) diverso da zero; quindi Y(t)
assumerà, nelle vicinanze di t — t 0 , valori di segno contrario, e il
punto P passa da una parte all’altra del piano.
Teorema. Se delle successive deri vate ^ u 2 .... del punto
P per t=t 0 la prima non nulla è u p , e delle susseguenti
la prima nè nulla nè coincidente in direzione con u ? è u,,
e delle susseguenti la prima nè nulla nè giacente nel
piano vLpVL q è Ur, allora:
Ogni piano passante per P 0 e non contenente la tan-
gent
è pa
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P 0 B,
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