4. Un punto d’una curva dicesi ordinario, se la curva taglia 
tutti i piani passanti per esso e non contenenti la tangente, tocca 
tutti i piani passanti per la tangente, e distinti dal piano oscula 
tore, e taglia il piano osculatore. Questo avviene se il punto P 
ha derivate prima, seconda e terza non nulle, nè giacenti in 
uno stesso piano; avviene pure se, conservando le notazioni del 
l’ultimo teorema, si ha p dispari, q pari e r dispari. Ogni punto 
non ordinario è detto singolare. Così se in un punto la curva 
tocca ogni piano non passante per la tangente (il che avviene 
quando p è pari), questo punto è detto punto stazionario o di 
regresso; se la curva taglia ogni piano passante per la tangente, 
e distinto dal piano osculatore (il che avviene se q è dispari), a 
questa tangente si dà il nome di tangente stazionaria o di /lesso; 
e se la curva tocca il piano osculatore (il che avviene quando 
r è pari), questo vien detto piano osculatore stazionario. In 
uno "stesso punto possono presentarsi anche due, o tutte e tre 
le singolarità accennate; e combinando insieme tutti i casi di pa 
rità o non dei tre numeri p, q, r, si hanno otto casi, uno dei quali 
corrisponde al punto ordinario, e gli altri sette a punti singolari 
variamente conformati. Oltre a queste singolarità della curva pro 
veniente da elementi (punti, tangenti, piani osculatori) stazionari^ 
la curva ne può presentare altre, ove il punto che la descrive passi 
più volte per una stessa posizione, ovvero manchi di derivata. 
Il volume formato colle tre prime derivate del punto P, cioè 
u.v.w ha un’importanza nello studio della curva; se esso non è 
nullo, le tre derivate del punto P non stanno in un piano, e P è 
un punto ordinario della curva che esso descrive. Anche questo 
volume si può considerare come un limite. 
Se P ha derivate l a , 2 a , 3 a , u, v, w continu e, se P 4 P 2 P 3 P 4 
sono quattro punti della curva corrispondenti ai va 
lori t i t 2 ¿3 di t, si ha: