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di u, si avrà 
Per maggior semplicità nei calcoli, invece di un’area della forma 
centro 0 e di 
he d’un punto 
tanca il primo 
di segmenti, aree, 
si, con operazioni 
;anza nello studio 
in = aj.k'+ P k.i + T i j, 
ove a 3 y sono numeri, si può considerare il segmento 
a e= ai + p j + fk , 
poiché, data l’area è dato il segmento, e viceversa. Questo segmento, che rap 
presenta l’area è strettamente collegato coll’area stessa poiché la sua direzione 
è normale al piano dell’area in, ed il numero che lo misura è eguale al numero 
che misura l’area (V. pag 28, Eserc. 5°). 
Invero, se b = xi -)- yj -(- zk è un nuovo segmento, sarà, eseguendo i calcoli, 
m.b = (ax + py + fz) i.j.k , 
e a X b = cu» + p?/ + y- , 
.. le posizioni di 
3mo che P abbia 
corrispondano a 
ad assi cartesiani 
io con accenti le 
[ere t i t 2 ... verso 
ossia, se poniamo 
membri, diventa: 
«j-k k.i i.j 
x' y’ z' \ 
ossia il prodotto a X b è il numero che misura il volume tn.b, (poiché i.j.k è 
l’unità di volume). Dunque, se b è parallelo al piano dell’area in, e quindi 
in.b = 0, dovrà anche essere axb = 0, e a perpendicolare a b : pertanto il 
segmento a, che è normale a tutte le rette parallele al piano in, è normale a 
questo piano. Inoltre, poiché il numero che misura w.b vale il prodotto del 
numero che misura in per la proiezione sulla normale ad in, ossia sulla dire 
zione di a, del segmento b, e siccome a X b vale il prodotto del numero che 
misura a per la proiezione di b sulla direzione di a, dall’eguaglianza di questi 
prodotti si deduce che il numero che misura a coincide col numero che mi 
sura in. 
Ciò premesso, se nel nostro caso diciamo U il segmento che rappresenta l’area 
u.v, ossia poniamo 
U = 
i j k 
iv' y' z' 
x" y" z'' 
sarà gr.JJ ~gr.uv. Ora la grandezza di U si sa calcolare coi metodi noti: 
dunque, detto tu il numero che misura il valor assoluto dell’area u.v, si deduce 
(5) in = srr(u.v) = }/ (y'z" — z'y"f + (z'x" — x'z'y + (x'y" — y'x"f. 
E se nella formula (4) non si considerano in ambi i membri che i valori 
assoluti, si deduce: 
(6) 
lim 
.grPJ^Pa 
(¿2 ^i) (f 8 — tù (h — y 
1 
4 
in. 
x" 
V