almeno in certi intervalli, anche le posizioni corrispondenti di P
siano distinte. Supporremo inoltre che P sia funzione continua di
u e v, cioè se i valori di u e v corrispondenti a P hanno per li
miti u 0 e v 0 corrispondenti a P 0 , il punto P abbia per limite P 0 , e
viceversa, se P tende a P 0 , u e v abbiano per limiti u 0 e v 0 .
Se, dopo aver assegnato il valore di v, si fa variare u, il punto
P descrive una curva giacente sulla superfìcie e determinata dal
valore attribuito a v. Variando questo valore, si hanno infinite curve
analoghe, il cui insieme forma la superfìcie. Si otterrebbe un altro
sistema di infinite curve sulla superficie scambiando le veci delle
variabili u e v.
Sia P 0 un punto fisso della superficie, e P un a Uro punto della stessa,
che si avvicini indefinitamente a P 0 . Nei casi più comuni esiste un
piano passante per P 0 e tale che l’angolo acuto fatto dalla retta P 0 P
con questo piano ha per limite zero quando P tende a P 0 . A un
piano siffatto si dà il nome di piano tangente alla superficie ; la
sua giacitura dicesi anche giacitura della superficie nel punto P 0 .
La perpendicolare al piano tangente nel punto P 0 dicesi normale
alla superficie in questo punto.
Così ad esempio, se la superficie è un piano, in ogni suo punto
P 0 il piano tangente è il piano stesso; poiché la retta P 0 P che
unisce P 0 ad un altro punto P della superficie fa con questo piano
un angolo nullo, e che quindi ha per limite zero. Se la superfìcie
è una sfera di centro G, il piano tangente in un suo punto P 0 è il
piano perpendicolare in P 0 al raggio CP 0 , ossia coincide col piano
tangente quale è definito dalla geometria elementare ; invero l’angolo
che la retta P 0 P fa con questo piano è eguale alla metà dell’angolo
PCP 0 , ed ha per limite zero se tende a P 0 .
Vedremo piu tardi che, in generale, il piano tangente si può
anche considerare come un limite.
11. Invece di considerare l’angolo che la retta P 0 P fa col piano
tangente, riesce spesso più conveniente adoperare il teorema che
segue :
