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Teorema. — Se, per ogni retta P 0 P che unisce il punto 
fisso P 0 col punto variabile P della superficie, si può 
condurre un piano che, col tendere di P a P 0 , abbia per 
limite un piano fisso, questo piano fisso è il piano tan 
gente alla superficie in P 0 . 
Viceversa, se la superficie ha un piano tangente in 
P 0 , per ogni retta P 0 P che unisce P 0 con un altro punto 
P della superficie si può condurre un piano che abbia 
per limite il piano tangente alla superficie, ove P tenda 
a P 0 . 
Infatti, sia a il piano passante per P 0 P, ed avente per limite il 
piano fisso tt. L’angolo di P 0 P con tt è minore dell’angolo dei piani 
a e tt. E poiché quest’angolo ha per limite zero, anche l’angolo di 
P 0 P con tt ha per limite zero e tt è il piano tangente. 
Viceversa, se tt è il piano tangente alla superficie in P 0 , sia a 
il piano passante per P 0 P e per la normale a P 0 P contenuta in tt. 
L’angolo dei piani a e tt è uguale all’angolo che la retta P 0 P fa 
col piano tt, e poiché questo angolo ha per limite zero, anche gli 
angoli dei piani a e tt ha per limite zero, ed il piano a ha per 
limite tt. 
È chiaro che se una superficie ha un piano tangente 
in P 0 , e su essa sta descritta una curva avente tangente 
in P 0 , questa tangente alla curva è contenuta nel piano 
tangente alla superficie. Invero, sia P un altro punto della 
curva, e quindi della superficie; e sia a un piano passante per 
P 0 P ed avente per limite il piano tangente. Poiché la retta P 0 P 
ha per limite la tangente alla curva, il piano a che contiene la 
P 0 P ha per limite un piano che contiene la tangente alla curva. 
Ma il piano a ha per limite il piano tangente ; dunque il piano tan 
gente alla superficie contiene anche la tangente alla curva descritta 
su essa. 
Viceversa, dal sapere che una superficie ha un piano tangente 
in P 0 , e che una curva passa per questo punto e giace sulla super 
ficie, non è lecito dedurre che questa curva abbia una tangente 
in P 0 . Però questa conseguenza sarà lecita qualora siano imposte