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il piano che contiene le tangenti alle due linee l ed m 
delle superficie passanti per P, supposto che esse ab 
biano tangenti, e che queste non coincidano. 
Infatti, sia P' un altro punto della superficie, e siano V e m' le 
linee I ed m che passano per P'. Sia Q il punto che sta sulle linee 
(<lm), e R il punto che sta sulle (l, m'); si consideri il piano PQP'. 
Gol tendere di P' a P, il punto Q ha per limite P, per l’ipotesi fatta, 
e poiché PR è in valor assoluto eguale a QP f (poiché questi seg 
menti sono posizioni distinte d’un segmento invariabile in lunghezza) 
anche R ha per limite P. 
La retta PQ ha per limite la tangente alla curva m in P. Dico 
poi che la retta QP' ha per limite la tangente alla l in P. Invero, 
dette t e V le tangenti alle l ed V nei punti P e Q, sarà l’angolo 
' /\ . " . 
QP',i < QP',£' -|- t',t\ ma l’angolo QP',i = PR,i perche posizioni d’uno 
/\ /\ /\ 
stesso angolo; quindi QP'£ < PR',i-(- V, t. Si faccia tendere P'aP; 
le rette PR e t' hanno per limiti la tangente t alla linea / in P; 
/\ /\ 
quindi gli angoli PB,£, e l', t tendono a zero, e lo stesso avviene 
dell’angolo QP',t ossia la retta QP' ha per limite la tangente alla 
l in P. 
Pertanto ogni retta PP' che unisce il punto P ad un altro punto 
P' della superficie è contenuta in un piano PQP', che ha per limite 
il piano che contiene le tangenti alle linee l ed m in P; dunque 
questo è il piano tangente alla superficie. 
18. Si dice che una figura rigida ruota attorno ad un asse, se, oltre 
al conservarsi inalterate le reciproche distanze dei suoi punti, ri 
mangono pure inalterate le loro distanze da due punti fissi dell’asse. 
Durante questo movimento ogni punto della figura descrive un 
cerchio contenuto in un piano normale all’asse ed il cui centro 
sta su quest’asse. 
La superficie generata da una linea l, che ruota attorno ad un 
asse, dicesi superficie di rivoluzione. I cerchi descritti dai punti 
della linea diconsi paralleli; ogni sezione fatta nella superficie 
con un piano passante per l’asse dicesi meridiano.