Se il punto P descrive una curva C avente tangente t, 
e piano osculatore TT, il punto P* descriverà una curva 
C # la cui tangente è la retta t* omologa di t, ed il cui 
piano osculatore è TT* omologo di TT. 
Se il punto P descrive una superficie S, avente piano 
tangente TT, il punto P* descrive una superficie S* il 
cui piano tangente è TT* omologo di TT. 
Infatti, se P e P' sono due posizioni del punto P che descrive 
la curva C e P* e P'* i loro omologhi, la retta P*P'* è l’omologa di 
PP' ; e col tendere di P' a P la PP' ha per limite la tangente t alla 
curva C nel punto P, e quindi la P*P'* ha per limite la retta t* 
omologa di t ; dunque t* è la tangente alla C* in P*. Il piano che 
passa per t, e per P' ha per limite il piano osculatore TT alla curva 
C; quindi il suo omologo, cioè il piano che passa per t* e per P*, 
ha per limite il piano TT* omologo di TT. Dunque TT* è il piano oscu 
latore alla C* in P*. 
Se P e P' sono due posizioni del punto P che descrive la super 
ficie S, e P* e P r * sono i loro punti omologhi sulla S # , si immagini 
il piano a, che contiene la PP\ e che ha per limite il piano tt 
tangente alla superficie in P. Il piano a*, omologo di a, contiene 
la P*P'*, ed ha per limite il piano TT*; dunque ogni retta P*P r * 
che unisce il punto P* ad un altro punto P'* della S* è contenuta 
in un piano avente per limite TT* ; e questo è il piano tangente alla 
superficie. 
Esercizii. 
22. 1. La proiezione dell’elica (N. 7) sul piano xy fatta parallelamente 
ad una retta obliqua rispetto a questo piano è una cicloide (Gap. II, eserc. 5). 
La proiezione dell’elica sul piano xy fatta da un centro di proiezione che 
giace sull’asse è una spirale iperbolica (Gap. II, eserc. 3). 
2. Siano l l lì ...l n n linee descritte sopra uno stesso cono di vertice 0; una 
generatrice di questo cono incontri queste linee nei punti P t P 2 ...P„; si deter-