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II, eserc. 5). 
proiezione che 
vertice 0; una 
..P„ ; si deter- 
— 129 — 
mini sulla stessa generatrice un punto P tale che 
OP = /’(OP 1 , 0P 2 , ...0P„). 
Variando la generatrice, il punto P descrive sul cono una nuova linea l. La 
costruzione della tangente a questa linea si ottiene a questo modo. Si immagini 
il piano tangente al cono lungo la generatrice considerata; esso conterrà le 
tangenti alle linee Z, l 2 ...l n ed l. Le normali alle linee l x l 2 ...l n contenute in 
questo piano incontrino la perpendicolare in 0 alla retta OP^.-.PnP in NiN s ...N„ ; 
si determini su questa perpendicolare il punto N tale che 
ON = 
Jf 
dOPi 
df 
dOP 2 
df 
dOP„ 
La NP è normale alla curva descritta da P, e la perpendicolare in P alla 
NP, contenuta nel piano tangente al cono è la tangente alla linea descritta da P. 
3. Si porti sulla retta OP che unisce il punto fisso 0 al punto variabile P 
d’una curva un segmento PQ di lunghezza costante; conoscendo la tangente 
alla linea descritta da P, trovare la tangente alla linea descritta da Q {concoide). 
4. Si determini sulla retta OP che unisce il punto fisso 0 al punto P d’una 
curva un punto Q tale ohe OP x OQ = & 2 , ove k è un numero costante {inver 
sione). I piani normali alle linee descritte da P e Q, ed il piano perpendicolare 
nel punto medio di PQ passano per una stessa retta; le tangenti alle curve 
descritte da P e Q si incontrano in un punto di questo piano. Queste proposi 
zioni si possono dedurre dall’esercizio 2°, ovvero trattare in modo analogo a 
quello seguito al Gap. II, N. 22. 
5. L’inversa della spirale logaritmica, il centro d’inversione essendo un 
punto della perpendicolare al piano della spirale nel suo polo, è una curva 
sferica detta lossodromia. Essa taglia sotto angolo costante tutti i cerchi mas 
simi della sfera passanti pel centro d’inversione. 
6. Da un punto fisso 0 si conduca una retta che incontri n superficie fisse 
nei punti Pi P 2 ...Pn. Si determini su questa retta il punto P la cui distanza 
da 0 sia una funzione analitica delle distanze analoghe dei punti Pi P 2 ...P„: 
OP = f(OPi, 0P 2 , ...0P„). 
Variando la retta, il punto P descrive una superficie. Il piano perpendicolare 
in 0 alla retta incontri le normali alle superficie date nei punti N A N 2 ... N». Si 
determini il punto N, pure contenuto in questo piano, e tale che 
0Ns 5CF 1 0N . + fóP i 0N i +- + (i № 
0N„ 
Peano, tìeom. infin. 
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